Hyperfläche/Transport durch Projektion/Eigenschaften/Aufgabe

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und seien ${}P,Q\in Y$ Punkte mit den Tangentialräumen ${}T_{P}Y$ und ${}T_{Q}Y$. Wir betrachten die Abbildung

$\varphi _{P,Q}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{Q}Y,\,v\longmapsto \pi _{Q}(v),$

die einen Tangentialvektor in ${}P$ als einen Vektor im umgebenden Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$ auffasst und anschließend auf ${}T_{Q}Y$ orthogonal projiziert.

1. Ist ${}\varphi _{P,Q}$ linear?
2. Ist ${}\varphi _{P,Q}$ bijektiv?
3. Ist ${}\varphi _{P,Q}$ eine Isometrie?
4. Gibt es eine Beziehung zwischen ${}\varphi _{P,Q}$ und dem Paralleltransport ${}\Psi _{\gamma }$ zu einer differenzierbaren Kurve ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow Y$ mit ${}\gamma (a)=P$ und ${}\gamma (b)=Q$.

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