Hyperfläche/Paralleltransport/Einführung/Textabschnitt

Es sei  $Y\subseteq W\subseteq {ℝ}^n$,  $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche. Zu Punkten  $P,Q\in Y$  gibt es keine natürliche Beziehung zwischen dem Tangentialraum $T_{P}Y$ und dem Tangentialraum $T_{Q}Y$. Es sei

$\gamma :[a,b]⟶Y$

eine differenzierbare Kurve in $Y$ mit  $\gamma (a)=P$  und  $\gamma (b)=Q$.  Man kann sich fragen, ob es entlang dieses Weges eine sinnvolle Beziehung zwischen den Tangentialräumen gibt.

Zu einer fixierten differenzierbaren Kurve $\gamma$ in $Y$, die die Punkte $P=\gamma (a)$ und $Q=\gamma (b)$ verbindet, ist durch Fakt eine Abbildung

$T_{P}Y⟶T_{Q}Y$

festgelegt. Diese ordnet dem Anfangsvektor  $v\in T_{P}Y$  den Vektor  $F(b)\in T_{Q}Y$  zu, wobei $F$ das eindeutig bestimmte parallele Vektorfeld längs $\gamma$ ist. Diese Abbildung heißt der Paralleltransport längs $\gamma$. Sie wird mit

${\Psi }_{\gamma }:T_{\gamma (a)}Y⟶T_{\gamma (b)}Y$

bezeichnet.

Satz

Es sei  $Y\subseteq W\subseteq {ℝ}^n$,  $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei $\gamma :[a,b]\to Y$ eine differenzierbare Kurve mit  $\gamma (a)=P$  und  $\gamma (b)=Q$. 

Dann ist der Paralleltransport längs $\gamma$ eine Isometrie

$T_{P}Y⟶T_{Q}Y.$

Beweis

Zum Nachweis der Linearität seien  $v,w\in T_{P}Y$  and  $r,s\in ℝ$  gegeben. Es seien $F$ bzw. $G$ die gemäß Fakt eindeutig bestimmten parallelen Vektorfelder längs $\gamma$ mit  $F(a)=v$  und  $G(a)=w$.  Nach Fakt ist $rF+sG$ ein paralleles Vektorfeld mit  $(rF+sG)(a)=v+w$.  Wegen der Eindeutigkeit aus Fakt ist somit $rF+sG$ das parallele Vektorfeld zum Tangentialvektor $rv+sw$. Daher ist

${\Psi }_{\gamma }(rv+sw)=(rF+sG)(b)=rF(b)+sG(b)=r{\Psi }_{\gamma }(v)+s{\Psi }_{\gamma }(w).$

Zum Nachweis der Verträglichkeit mit dem Skalarprodukt seien wieder  $v,w\in T_{P}Y$  gegeben und es seien $F,G$ die zugehörigen parallelen Vektorfelder. Es ist

$⟨F(t),G(t)⟩=⟨F^{\prime }(t),G(t)⟩+⟨F(t),G^{\prime }(t)⟩=0,$

da $F,G$ tangential sind und $F^{\prime },G^{\prime }$ orthogonal zum Tangentialraum sind. Daher ist $⟨F(t),G(t)⟩$ konstant längs des Weges. Daher ist

$⟨{\Psi }_{\gamma }(v),{\Psi }_{\gamma }(w)⟩=⟨F(b),G(b)⟩=⟨F(a),F(a)⟩=⟨v,w⟩.$

Die Bijektivität ist damit auch klar.

$◻$

Beispiel

Wir betrachten den Viertelgroßkreis

$[0,\pi /2]⟶{ℝ}^3,t⟼(\cos t,\sin t,0),$

auf der Einheitskugeloberfläche $S$ und knüpfen an Beispiel an. Es ist  $\gamma (0)=(1,0,0)=P$  und  $\gamma (\pi /2)=(0,1,0)=Q$  mit den Tangentialräumen  $T_{P}S=ℝe_2+ℝe_3$  und  $T_{Q}S=ℝe_1+ℝe_3$.  Nach den Berechnungen im angegebenen Beispiel gilt für den Paralleltransport  ${\Psi }_{\gamma }(e_3)=e_3$  und  ${\Psi }_{\gamma }(e_2)=-e_1$. 

Wenn

$\gamma :I⟶Y$

eine stetige, stückweise differenzierbare Kurve ist, so definiert man den Paralleltransport längs $\gamma$, indem man die einzelnen Paralleltransporte zu den differenzierbaren Kurvenstücken hintereinander ausführt.