Hyperfläche/Paralleltransport/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche. Zu Punkten ${}P,Q\in Y$ gibt es keine natürliche Beziehung zwischen dem Tangentialraum ${}T_{P}Y$ und dem Tangentialraum ${}T_{Q}Y$. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow Y$

eine differenzierbare Kurve in ${}Y$ mit ${}\gamma (a)=P$ und ${}\gamma (b)=Q$. Man kann sich fragen, ob es entlang dieses Weges eine sinnvolle Beziehung zwischen den Tangentialräumen gibt.

Zu einer fixierten differenzierbaren Kurve ${}\gamma$ in ${}Y$, die die Punkte ${}P=\gamma (a)$ und ${}Q=\gamma (b)$ verbindet, ist durch Fakt eine Abbildung

$T_{P}Y\longrightarrow T_{Q}Y$

festgelegt. Diese ordnet dem Anfangsvektor ${}v\in T_{P}Y$ den Vektor ${}F(b)\in T_{Q}Y$ zu, wobei ${}F$ das eindeutig bestimmte parallele Vektorfeld längs ${}\gamma$ ist. Diese Abbildung heißt der Paralleltransport längs ${}\gamma$. Sie wird mit

$\Psi _{\gamma }\colon T_{\gamma (a)}Y\longrightarrow T_{\gamma (b)}Y$

bezeichnet.

Satz

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve mit ${}\gamma (a)=P$ und ${}\gamma (b)=Q$.

Dann ist der Paralleltransport längs ${}\gamma$ eine Isometrie

$T_{P}Y\longrightarrow T_{Q}Y.$

Beweis

Zum Nachweis der Linearität seien ${}v,w\in T_{P}Y$ and ${}r,s\in \mathbb {R}$ gegeben. Es seien ${}F$ bzw. ${}G$ die gemäß Fakt eindeutig bestimmten parallelen Vektorfelder längs ${}\gamma$ mit ${}F(a)=v$ und ${}G(a)=w$. Nach Fakt ist ${}rF+sG$ ein paralleles Vektorfeld mit ${}(rF+sG)(a)=v+w$. Wegen der Eindeutigkeit aus Fakt ist somit ${}rF+sG$ das parallele Vektorfeld zum Tangentialvektor ${}rv+sw$. Daher ist

${}\Psi _{\gamma }(rv+sw)=(rF+sG)(b)=rF(b)+sG(b)=r\Psi _{\gamma }(v)+s\Psi _{\gamma }(w)\,.$

Zum Nachweis der Verträglichkeit mit dem Skalarprodukt seien wieder ${}v,w\in T_{P}Y$ gegeben und es seien ${}F,G$ die zugehörigen parallelen Vektorfelder. Es ist

${}\left\langle F(t),G(t)\right\rangle '=\left\langle F'(t),G(t)\right\rangle +\left\langle F(t),G'(t)\right\rangle =0\,,$

da ${}F,G$ tangential sind und ${}F',G'$ orthogonal zum Tangentialraum sind. Daher ist ${}\left\langle F(t),G(t)\right\rangle$ konstant längs des Weges. Daher ist

${}\left\langle \Psi _{\gamma }(v),\Psi _{\gamma }(w)\right\rangle =\left\langle F(b),G(b)\right\rangle =\left\langle F(a),F(a)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$

Die Bijektivität ist damit auch klar.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten den Viertelgroßkreis

$[0,\pi /2]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,0\right),$

auf der Einheitskugeloberfläche ${}S$ und knüpfen an Beispiel an. Es ist ${}\gamma (0)=\left(1,\,0,\,0\right)=P$ und ${}\gamma (\pi /2)=\left(0,\,1,\,0\right)=Q$ mit den Tangentialräumen ${}T_{P}S=\mathbb {R} e_{2}+\mathbb {R} e_{3}$ und ${}T_{Q}S=\mathbb {R} e_{1}+\mathbb {R} e_{3}$. Nach den Berechnungen im angegebenen Beispiel gilt für den Paralleltransport ${}\Psi _{\gamma }(e_{3})=e_{3}$ und ${}\Psi _{\gamma }(e_{2})=-e_{1}$.

Wenn

$\gamma \colon I\longrightarrow Y$

eine stetige, stückweise differenzierbare Kurve ist, so definiert man den Paralleltransport längs ${}\gamma$, indem man die einzelnen Paralleltransporte zu den differenzierbaren Kurvenstücken hintereinander ausführt.