Idealpotenzen/Artin-Rees/Fakt

Lemma von Artin-Rees

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und ${}N\subseteq M$ ein Untermodul in einem endlich erzeugten ${}R$-Modul ${}M$.

Dann gibt es eine natürliche Zahl ${}m$ mit

${}{\mathfrak {a}}^{n}M\cap N={\mathfrak {a}}^{n-m}({\mathfrak {a}}^{m}M\cap N)\,$

für ${}n\geq m$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen