Imaginär-quadratischer Zahlbereich/Ideal/Elliptische Kurve/Endomorphismenring/Fakt/Beweis

Beweis

Zu ${}f\in A$ ist die Multiplikation mit ${}f$ ein ${}A$-Modulhomomorphismus

${\mathfrak {a}}\longrightarrow {\mathfrak {a}},\,x\longmapsto fx.$

Dies definiert nach Fakt bei ${}f\neq 0$ eine Isogenie

${\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}\longrightarrow {\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}$

und bei ${}f=0$ die Nullabbildung. Dies ergibt eine Zuordnung

$A\longrightarrow \operatorname {End} _{}{\left({\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}\right)}.$

Diese respektiert die Addition und die Multiplikation, ist also ein Ringhomomorphismus. Diese ist injektiv, da bei ${}f\neq 0$ die auf dem Torus induzierte Abbildung nach Fakt nicht die Nullabbildung ist (sondern sogar surjektiv). Eine Isogenie

${\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}\longrightarrow {\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}$

rührt her von einer Multiplikation

$\cdot f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

mit ${}f\in {\mathbb {C} }$ mit ${}f\cdot {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {a}}$. Daraus folgt direkt ${}f\in Q(A)$ und damit mit Fakt auch ${}f\in A$.

Zur bewiesenen Aussage