Beweis
Wir betrachten den Vektorraum aller stetigen Kurven von nach . Dieser ist mit der
Maximumsnorm
ein
metrischer Raum
und nach
Fakt
vollständig.
Es sei mit der beschriebenen Eigenschaft fixiert. Die zum Kern gehörige Transformation
-
ist eine Abbildung
-
Die Wohldefiniertheit beruht auf der Existenz der bestimmten Integrale für stetige Funktionen und auf der Stetigkeit des Integrals, siehe
Fakt.
Eine Lösung der Integralgleichung ist offenbar ein Fixpunkt der Transformation, wir werden also
den Banachschen Fixpunktsatz
anwenden. Zu Kurven
ist
-
und dies ist durch
-
beschränkt. Daher ist
und nach Voraussetzung ist
,
also ein Kontraktionsfaktor.