Integralsatz von Cauchy/Sternförmig/Stammform/Geschlossener Weg/Fakt/Beweis

Beweis

Ohne Einschränkung sei ${}U$ sternförmig bezüglich des Punktes ${}0$. Zu ${}Q\in U$ definieren wir ${}\varphi (Q)$ über das Wegintegral zur Differentialform ${}fdz$ zum linearen Verbindungsweg von ${}0$ nach ${}Q$, den wir mit ${}[0,Q]$ bezeichnen (die Durchlaufgeschwindigkeit ist irrelevant), also

${}\varphi (Q):=\int _{[0,Q]}fdz\,.$

Es sei ${}P\in U$ fixiert. Für eine hinreichend kleine Kreisscheibenumgebung ${}B\left(P,r\right)$ (in ${}U$) von ${}P$ ist für ${}Q\in B\left(P,r\right)$ das Dreieck mit den Ecken ${}0,P,Q$ ganz in ${}U$ und wegen Fakt gilt

${}\varphi (Q)=\varphi (P)+\int _{[P,Q]}fdz\,.$

Wir betrachten den Differenzenquotienten

${}\psi (Q)={\frac {\varphi (Q)-\varphi (P)}{Q-P}}={\frac {\int _{[P,Q]}fdz}{Q-P}}\,.$

Unter Verwendung von Fakt ist

${}{\begin{aligned}\vert {\psi (Q)-f(P)}\vert &=\vert {{\frac {\int _{[P,Q]}fdz}{Q-P}}-f(P)}\vert \\&={\frac {1}{\vert {Q-P}\vert }}\vert {\int _{[P,Q]}fdz-f(P)(Q-P)}\vert \\&={\frac {1}{\vert {Q-P}\vert }}\vert {\int _{[P,Q]}(fdz-f(P))}\vert \\&\leq {\frac {1}{\vert {Q-P}\vert }}\Vert {f-f(P)}\Vert _{[P,Q]}\cdot \vert {Q-P}\vert \\&\leq \Vert {f-f(P)}\Vert _{B\left(P,r\right)}.\end{aligned}}$

Wegen der Stetigkeit von ${}f$ folgt, dass der Funktionslimes von ${}\psi (Q)$ für ${}Q\rightarrow P$ gleich ${}f(P)$ ist. D.h., dass der Differentialquotient existiert und somit ist ${}\varphi$ komplex differenzierbar. Die Aussage folgt daher aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage