Integralsatz von Cauchy/Sternförmig/Stammform/Geschlossener Weg/Fakt/Beweis

Beweis

Ohne Einschränkung sei $U$ sternförmig bezüglich des Punktes $0$. Zu  $Q\in U$  definieren wir $\phi (Q)$ über das Wegintegral zur Differentialform $fdz$ zum linearen Verbindungsweg von $0$ nach $Q$, den wir mit $[0,Q]$ bezeichnen (die Durchlaufgeschwindigkeit ist irrelevant), also

$\phi (Q):={\int }_{[0,Q]}fdz.$

Es sei  $P\in U$  fixiert. Für eine hinreichend kleine Kreisscheibenumgebung $B(P,r)$ (in $U$) von $P$ ist für  $Q\in B(P,r)$  das Dreieck mit den Ecken $0,P,Q$ ganz in $U$ und wegen Fakt gilt

$\phi (Q)=\phi (P)+{\int }_{[P,Q]}fdz.$

Wir betrachten den Differenzenquotienten

$\psi (Q)=\frac{\phi (Q)-\phi (P)}{Q-P}=\frac{{\int }_{[P,Q]}fdz}{Q-P}.$

Unter Verwendung von Fakt ist

$\begin{array}{cc}|\psi (Q)-f(P)|& =|\frac{{\int }_{[P,Q]}fdz}{Q-P}-f(P)|\\ & =\frac{1}{|Q-P|}|{\int }_{[P,Q]}fdz-f(P)(Q-P)|\\ & =\frac{1}{|Q-P|}|{\int }_{[P,Q]}(fdz-f(P))|\\ & \le \frac{1}{|Q-P|}\Vert f-f(P){\Vert }_{[P,Q]}\cdot |Q-P|\\ & \le \Vert f-f(P){\Vert }_{B(P,r)}.\end{array}$

Wegen der Stetigkeit von $f$ folgt, dass der Funktionslimes von $\psi (Q)$ für $Q\to P$ gleich $f(P)$ ist. D.h., dass der Differentialquotient existiert und somit ist $\phi$ komplex differenzierbar. Die Aussage folgt daher aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage