Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der Funktionentheorie. Es gibt ihn in verschiedenen Versionen, von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf konvexen Gebieten und eine relativ allgemeine für nullhomologe Zyklen vorstellen wollen.
Es sei
ein konvexes Gebiet,
ein in
geschlossener rektifizierbarer Weg. Dann ist für jede
holomorphe Funktion
Wir bemerken zunächst, dass
auf
eine Stammfunktion besitzt. Sei dazu
fest gewählt. Für jeden Punkt
bezeichne
die direkte Verbindungsstrecke von
und
.
Beweis 2: Definition der Stammfunktion
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Wir definieren
durch
.
Für
liegt wegen der Konvexität das Dreieck
mit den Ecken
ganz in
.
Beweis 3: Anwendung des Lemma von Goursat
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Es folgt nach dem Lemma von Goursat über die Integration über den Rand
eines Dreiecks
mit den Ecken
, dass
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}0&=\int _{\partial \Delta }f(z)\,dz\\&=\int _{[z_{0},z]}f(\zeta )\,d\zeta -\int _{[z_{0},w]}f(\zeta )\,d\zeta +\int _{[z,w]}f(\zeta )\,d\zeta \\&=F(z)-F(w)+\int _{[z,w]}f(\zeta )\,d\zeta \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/731f234fc9fc27bfc602b41ecb9844b503544b41)
Beweis 4: Anwendung des Lemma von Goursat
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Damit erhält man:
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}F(z)-F(w)&=\int _{[w,z]}f(\zeta )\,d\zeta \\&=\int _{0}^{1}f{\bigl (}w+t(z-w){\bigr )}\cdot (z-w)\,dt\\&=\underbrace {\int _{0}^{1}f{\bigl (}w+t(z-w){\bigr )}\,dt} _{A(z):=}\cdot (z-w)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b4b7ffc3b49845241a239960a805ce0303c35f1)
Also ist:
![{\displaystyle A(z)={\frac {F(z)-F(w)}{(z-w)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c2b6a48b98cf278b14e0ec12632ffe5f5d6c539)
Da
eine stetige Funktion in
ist, gilt mit Übergang zum Grenzwertprozess
:
![{\displaystyle A(w)=\lim _{z\to w}\,A(z)=\lim _{z\to w}\,{\frac {F(z)-F(w)}{(z-w)}}=F'(w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cf09811ece49702029d60c5d27d72d557475aa4)
Dann ist
stetig. Es folgt, dass
in
differenzierbar mit
Da
beliebig war, folgt
und
hat eine Stammfunktion, was wir zeigen wollten.
Sei nun
ein stückweise stetig differenzierbarer, geschlossener Weg. Dann ist
Sei nun
ein beliebiger Integrationweg in
und
. Wir wählen, wie hier gezeigt, einen Streckenzug
mit
,
und
. Da
Streckenzüge stückweise stetig differenzierbar sind, folgt nach dem oben gezeigten, dass
. Also ist
. Da
beliebig war, folgt die Behauptung.
Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen
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Auf beliebigen offenen Mengen muss man bei den Zyklen darauf achten, dass keine Singularitäten/Polstellen im Komplement des Definitionsbereiches umrundet werden. Bei der Umrundung von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag zum Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion
und
auf einem Gebiet
. Auch wenn
holomorph auf
ist das Integral nicht 0, sondern
(siehe nullhomologer Zyklus).
Es sei
offen,
ein in
nullhomologer Zyklus. Dann ist für jede
holomorphe Funktion
Sei
, definiere
durch
dann ist
holomorph und nach der globalen Integralformel folgt
![{\displaystyle \int _{\Gamma }f(z)\,dz=\int _{\Gamma }{\frac {g(z)}{z-w}}\,dz=2\pi i\cdot n(\Gamma ,w)\cdot g(w)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d3d71d4eac801b355fbd1d502c42b26675164d)
Der Foliensatz wurde für den Kurs:Funktionentheorie erstellt.