Integralsatz von Cauchy

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Einleitung[Bearbeiten]

Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der Funktionentheorie. Es gibt ihn in verschiedenen Versionen, von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf konvexen Gebieten und eine relativ allgemeine für nullhomologe Zyklen vorstellen wollen.

Für konvexe Gebiete[Bearbeiten]

Aussage[Bearbeiten]

Es sei ein konvexes Gebiet, ein in geschlossener rektifizierbarer Weg. Dann ist für jede holomorphe Funktion

Beweis 1: Stammfunktion von f[Bearbeiten]

Wir bemerken zunächst, dass auf eine Stammfunktion besitzt. Sei dazu fest gewählt. Für jeden Punkt bezeichne die direkte Verbindungsstrecke von und .

Beweis 2: Definition der Stammfunktion[Bearbeiten]

Wir definieren durch

.

Für liegt wegen der Konvexität das Dreieck mit den Ecken ganz in .

Beweis 3: Anwendung des Lemma von Goursat[Bearbeiten]

Es folgt nach dem Lemma von Goursat über die Integration über den Rand eines Dreiecks mit den Ecken , dass

Beweis 4: Anwendung des Lemma von Goursat[Bearbeiten]

Damit erhält man:

Also ist:

Beweis 5: Grenzwertprozess[Bearbeiten]

Da eine stetige Funktion in ist, gilt mit Übergang zum Grenzwertprozess :

Beweis 5:[Bearbeiten]

Dann ist stetig. Es folgt, dass in differenzierbar mit

Da beliebig war, folgt und hat eine Stammfunktion, was wir zeigen wollten.

Beweis 6:[Bearbeiten]

Sei nun ein stückweise stetig differenzierbarer, geschlossener Weg. Dann ist

Beweis 7:[Bearbeiten]

Sei nun ein beliebiger Integrationweg in und . Wir wählen, wie hier gezeigt, einen Streckenzug mit , und . Da Streckenzüge stückweise stetig differenzierbar sind, folgt nach dem oben gezeigten, dass . Also ist . Da beliebig war, folgt die Behauptung.

Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen[Bearbeiten]

Auf beliebigen offenen Mengen muss man bei den Zyklen darauf achten, dass keine Singularitäten/Polstellen im Komplement des Definitionsbereiches umrundet werden. Bei der Umrundung von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag zum Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion und auf einem Gebiet . Auch wenn holomorph auf ist das Integral nicht 0, sondern (siehe nullhomologer Zyklus).

Aussage[Bearbeiten]

Es sei offen, ein in nullhomologer Zyklus. Dann ist für jede holomorphe Funktion

Beweis[Bearbeiten]

Sei , definiere durch

dann ist holomorph und nach der globalen Integralformel folgt

Siehe auch[Bearbeiten]

Seiten-Information[Bearbeiten]

Der Foliensatz wurde für den Kurs:Funktionentheorie erstellt.