Integralsatz von Cauchy

Einleitung

Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der Funktionentheorie. Es gibt ihn in verschiedenen Versionen, von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf konvexen Gebieten und eine relativ allgemeine für nullhomologe Zyklen vorstellen wollen.

Einleitung

Bekannt ist, dass das Integral über $f(z)={\frac {1}{z}}$ bei der Integration über den geschlossenen Weg $\gamma (t):=r\cdot e^{it}$ über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert $2\pi i$ liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet $G$ konvex ist. Dies ist für $f(z)={\frac {1}{z}}$ nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von $f$ gehört.

Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ ein konvexes Gebiet, $\gamma$ ein in $G$ geschlossener rektifizierbarer Weg. Dann ist für jede holomorphe Funktion $f\colon G\to \mathbb {C}$

\int _{\gamma }f(z)\,dz=0

Beweis

Der Beweis des Cauchy-Integralsatz verwendet im Wesentlichen das Lemma von Goursat.

Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen

Auf beliebigen offenen Mengen muss man bei den Zyklen darauf achten, dass keine Singularitäten/Polstellen im Komplement des Definitionsbereiches umrundet werden. Bei der Umrundung von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag zum Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion $f(z)={\frac {1}{z}}$ und $\gamma (t):=e^{it}$ auf einem Gebiet $G=\mathbb {C} \setminus \{0\}$ . Auch wenn $f$ holomorph auf $G$ ist das Integral nicht 0, sondern $2\pi i$ (siehe nullhomologer Zyklus).

Aussage

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ offen, $\Gamma$ ein in $G$ nullhomologer Zyklus. Dann ist für jede holomorphe Funktion $f\colon G\to \mathbb {C}$

\int _{\Gamma }f(z)\,dz=0

Beweis

Sei $w\in G\setminus \mathrm {Spur} (\Gamma )$ , definiere $g\colon G\to \mathbb {C}$ durch

g(z):=(z-w)\cdot f(z)

dann ist $g$ holomorph und nach der globalen Integralformel folgt

\int _{\Gamma }f(z)\,dz=\int _{\Gamma }{\frac {g(z)}{z-w}}\,dz=2\pi i\cdot {\frac {1}{2\pi i}}\cdot \int _{\Gamma }{\frac {g(z)}{z-w}}\,dz=2\pi i\cdot n(\Gamma ,w)\cdot \underbrace {g(w)} _{=0}=0.

Dabei wurde $g(w)=(w-w)\cdot f(w)=0$ verwendet.

Bemerkung - Anwendung auf konvexe Gebiete

Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen durch Ergänzung von Wege auf Summe von Integralen auf konvexe Gebiete übertragen. Die Ergänzung von Wegen erfolgt mit Integralsumme 0.

Siehe auch

Seiten-Information

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