Integrationstheorie/Satz von der majorisierten Konvergenz/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Majorante sichert nach Fakt, dass die integrierbar sind; da diese Abschätzung auch für die Grenzfunktion gilt, ist diese ebenfalls integrierbar. Wir wenden das Lemma von Fatou auf die beiden nichtnegativen Funktionenfolgen und an und erhalten unter Verwendung der Linearität einerseits

und andererseits

Zusammenfassend ergibt sich

Daher stimmt der Limes inferior von mit dem Limes superior davon überein und somit ist dies nach Aufgabe gleich dem Limes von .

Zur bewiesenen Aussage