Beweis
Die Majorante
sichert nach
Fakt,
dass die
integrierbar sind; da diese Abschätzung auch für die
Grenzfunktion
gilt, ist diese ebenfalls integrierbar. Wir wenden
das Lemma von Fatou
auf die beiden nichtnegativen Funktionenfolgen
und
an und erhalten unter Verwendung der
Linearität
einerseits

und andererseits

Zusammenfassend ergibt sich

Daher stimmt der Limes inferior von
mit dem Limes superior davon überein und somit ist dies
nach Aufgabe
gleich dem Limes von
.