Invertierbare Matrix/Inverse Matrix/Bestimmung/Textabschnitt

Verfahren  

Es sei ${}M$ eine quadratische Matrix. Wie kann man entscheiden, ob die Matrix invertierbar ist, und wie kann man die inverse Matrix ${}M^{-1}$ finden?

Dazu legt man eine Tabelle an, wo in der linken Seite zunächst die Matrix ${}M$ steht und in der rechten Seite die Einheitsmatrix. Jetzt wendet man auf beide Matrizen schrittweise die gleichen elementaren Zeilenumformungen an. Dabei soll in der linken Seite die Ausgangsmatrix in die Einheitsmatrix umgewandelt werden. Dies ist genau dann möglich, wenn diese Matrix invertierbar ist. Wir behaupten, dass bei dieser Vorgehensweise in der rechten Seite die Matrix ${}M^{-1}$ als Endmatrix entsteht. Dies beruht auf folgendem Invarianzprinzip. Jede elementare Zeilenumformung kann als eine Matrizenmultiplikation mit einer Elementarmatrix ${}E$ von links realisiert werden. Wenn in der Tabelle

$(M_{1},M_{2})$

steht, so steht im nächsten Schritt

$(EM_{1},EM_{2}).$

Wenn man das Inverse (das man noch nicht kennt, das es aber gibt unter der Voraussetzung, dass die Matrix invertierbar ist.) der linken Seite mit der rechten Seite multipliziert, so ergibt sich

${}(EM_{1})^{-1}EM_{2}=M_{1}^{-1}E^{-1}EM_{2}=M_{1}^{-1}M_{2}\,.$

D.h., dass sich dieser Ausdruck bei den Einzelschritten nicht ändert. Zu Beginn ist dieser Ausdruck gleich ${}M^{-1}E_{n}$, daher muss zum Schluss für ${}(E_{n},N)$ gelten

${}N=E_{n}^{-1}N=M^{-1}E_{n}=M^{-1}\,.$

Beispiel

Wir wollen zur Matrix ${}{\begin{pmatrix}5&9\\-3&7\end{pmatrix}}$ gemäß dem in Fakt beschriebenen Verfahren die inverse Matrix ${}M^{-1}$ bestimmen.

${}{\begin{pmatrix}5&9\\-3&7\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}5&9\\0&{\frac {62}{5}}\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {3}{5}}&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&{\frac {9}{5}}\\0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{5}}&0\\{\frac {3}{62}}&{\frac {5}{62}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}{\frac {7}{62}}&-{\frac {9}{62}}\\{\frac {3}{62}}&{\frac {5}{62}}\end{pmatrix}}$

Für eine invertierbare ${}2\times 2$-Matrix ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ kann man die inverse Matrix einfacher direkt angeben, es ist nämlich

${}M^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}\,$

(und die „Determinante“ ${}ad-bc$ ist genau dann ungleich ${}0$, wenn die Matrix invertierbar ist).

Beispiel

Wir wollen zur Matrix ${}{\begin{pmatrix}1&3&1\\4&1&2\\0&1&1\end{pmatrix}}$ gemäß dem in Fakt beschriebenen Verfahren die inverse Matrix ${}M^{-1}$ bestimmen.

${}{\begin{pmatrix}1&3&1\\4&1&2\\0&1&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&3&1\\0&-11&-2\\0&1&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-4&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&3&1\\0&1&1\\0&-11&-2\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\-4&1&0\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&3&1\\0&1&1\\0&0&9\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\-4&1&11\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&3&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\{\frac {-4}{9}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{9}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&0&-2\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&-3\\0&0&1\\{\frac {-4}{9}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{9}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{9}}&{\frac {2}{9}}&{\frac {-5}{9}}\\{\frac {4}{9}}&{\frac {-1}{9}}&{\frac {-2}{9}}\\{\frac {-4}{9}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{9}}\end{pmatrix}}$