Invertierbare Matrix/Körper/Ähnlichkeit/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$-Matrix über ${}K$. Dann heißt ${}M$ invertierbar, wenn es eine weitere Matrix  ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$  mit

${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

gibt.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix  ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$  heißt die Matrix  ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$  mit

${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

die inverse Matrix von ${}M$. Man schreibt dafür

$M^{-1}.$

Das Produkt von invertierbaren Matrizen ist wieder invertierbar. Gemäß Fakt ist die Matrix zu einem Basiswechsel invertierbar, und die Matrix zum umgekehrten Basiswechsel ist die inverse Matrix.

Definition

Zu einem Körper ${}K$ und  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  nennt man die Menge aller invertierbaren ${}n\times n$-Matrizen mit Einträgen in ${}K$ die allgemeine lineare Gruppe über ${}K$. Sie wird mit ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ bezeichnet.

Definition

Zwei quadratische Matrizen  ${}M,N\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$  heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix ${}B$ mit  ${}M=BNB^{-1}$  gibt.

Nach Fakt sind zu einer linearen Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ die beschreibenden Matrizen bezüglich zweier Basen ähnlich zueinander.