Irreduzibles Polynom/Positive Charakteristik/Einsetzung in separables Polynom/Fakt/Beweis
Beweis
Da irreduzibel ist, ist der Grad von mindestens . Es sei der maximale Exponent derart, dass man mit einem Polynom schreiben kann. Dies muss es geben, da nicht konstant ist und daher der Grad von mindestens so groß wie ist. Das Polynom ist ebenfalls irreduzibel, da eine Zerlegung davon sofort zu einer Zerlegung von führt. Wegen der Maximalität von ist . Daher ist und somit ist teilerfremd zum irreduziblen Polynom . Also ist nach Fakt separabel.
![{\displaystyle {}G\in K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4ecbefea2e6d4f6016a1b0fb1c29bc8a5f6e7d)
![{\displaystyle {}G\not \in K[X^{p}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2abb292e92738eb51f63b0ac67ab74b21b274b)
