Irreduzibles Polynom/Positive Charakteristik/Einsetzung in separables Polynom/Fakt/Beweis

Beweis

Da $F$ irreduzibel ist, ist der Grad von $F$ mindestens $1$. Es sei $e$ der maximale Exponent derart, dass man $F=G(X^{p^e})$ mit einem Polynom $G\in K[X]$ schreiben kann. Dies muss es geben, da $G$ nicht konstant ist und daher der Grad von $G(X^{p^e})$ mindestens so groß wie $p^e$ ist. Das Polynom $G$ ist ebenfalls irreduzibel, da eine Zerlegung davon sofort zu einer Zerlegung von $F$ führt. Wegen der Maximalität von $e$ ist $G\in ̸K[X^p]$. Daher ist $G^{\prime }\ne 0$ und somit ist $G^{\prime }$ teilerfremd zum irreduziblen Polynom $G$. Also ist $G$ nach Fakt separabel.

Zur bewiesenen Aussage