Isometrie/Orthogonal bijektiv Determinante/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis und ${}v_{i}=\varphi (u_{i})$. Nach Voraussetzung sind diese Vektoren ${}\neq 0$ und stehen paarweise senkrecht aufeinander. Es sei

${}w_{i}={\frac {v_{i}}{\Vert {v_{i}}\Vert }}\,$

die zugehörige Orthonormalbasis. Wir betrachten die durch

$u_{i}\mapsto w_{i}$

gegebene lineare Abbildung ${}\psi$. Diese ist nach Fakt (oder nach Aufgabe) eine Isometrie und hat Determinante ${}1$ oder ${}-1$. Wir schreiben

${}\varphi =\theta \circ \psi \,,$

wobei ${}\theta$ die Form ${}w_{i}\mapsto s_{i}w_{i}$ besitzt. Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes ist die Determinante von ${}\theta$ ebenfalls ${}1$ oder ${}-1$. Die Orthogonalitätsbedingung gilt mit ${}\varphi$ und ${}\psi$ auch für ${}\theta =\varphi \circ \psi ^{-1}$. Es genügt somit zu zeigen, dass ${}\theta$ eine Isometrie ist, wozu es genügt, zu zeigen, dass alle ${}s_{i}$ betragsmäßig gleich ${}1$ sind. Nehmen wir an, dass es ein ${}i$ mit

${}\vert {s_{i}}\vert >1\,$

gibt. Wegen der Eigenschaft der Determinante ist

${}\prod _{i=1}^{n}\vert {s_{i}}\vert =1\,$

und daher gibt es auch ein ${}j$ mit

${}\vert {s_{j}}\vert <1\,.$

Die Vektoren ${}w_{i}+w_{j}$ und ${}w_{i}-w_{j}$ sind wegen

${}\left\langle w_{i}+w_{j},w_{i}-w_{j}\right\rangle =\left\langle w_{i},w_{i}\right\rangle -\left\langle w_{j},w_{j}\right\rangle =1-1=0\,$

orthogonal zueinander. Ihre Bilder ${}s_{i}w_{i}+s_{j}w_{j}$ und ${}s_{i}w_{i}-s_{j}w_{j}$ sind aber wegen

${}\left\langle s_{i}w_{i}+s_{j}w_{j},s_{i}w_{i}-s_{j}w_{j}\right\rangle =s_{i}^{2}\left\langle w_{i},w_{i}\right\rangle -s_{j}^{2}\left\langle w_{j},w_{j}\right\rangle =s_{i}^{2}-s_{j}^{2}>0\,$

nicht orthogonal zueinander.

Zur gelösten Aufgabe