Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

1. Ein Körper ${}K$ heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom ${}F\in K[X]$ eine Nullstelle in ${}K$ besitzt.
2. Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt eine einfache Radikalerweiterung, wenn es ein ${}b\in L$ gibt mit ${}L=K(b)$ und ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}b^{n}\in K$.
3. Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.
4. Das Element ${}f$ heißt algebraisch über ${}K$, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$ gibt.
5. Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt normal, wenn es zu jedem ${}x\in L$ ein Polynom ${}F\in K[X]$, ${}F\neq 0$, mit ${}F(x)=0$ gibt, das über ${}L$ zerfällt.
6. Ein Punkt ${}P\in E$ heißt aus ${}M$ in einem Schritt konstruierbar, wenn eine der folgenden Möglichkeiten zutrifft.
   1. Es gibt zwei aus ${}M$ elementar konstruierbare Geraden ${}G_{1}$ und ${}G_{2}$ mit ${}G_{1}\cap G_{2}=\{P\}$.
   2. Es gibt eine aus ${}M$ elementar konstruierbare Gerade ${}G$ und einen aus ${}M$ elementar konstruierbaren Kreis ${}C$ derart, dass ${}P$ ein Schnittpunkt von ${}G$ und ${}C$ ist.
   3. Es gibt zwei aus ${}M$ elementar konstruierbare Kreise ${}C_{1}$ und ${}C_{2}$ derart, dass ${}P$ ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist.

Zur gelösten Aufgabe