Körper/Polynomring/Nicht endlich erzeugt/Beispiel

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Der Polynomring über einem Körper ist kein endlichdimensionaler Vektorraum. Es ist zu zeigen, dass es kein endliches Erzeugendensystem des Polynomringes gibt. Betrachten wir Polynome . Es sei das Maximum der Grade dieser Polynome. Dann hat auch jede -Linearkombination maximal den Grad . Insbesondere können Polynome von einem größeren Grad nicht durch dargestellt werden, und diese endlich vielen Polynome sind kein Eruegendensystem für alle Polynome.