K-Algebra/Direkter Summand/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine von $0$ verschiedene $K$-Algebra. Dann ist $K$ ein direkter Summand von $A$. Dies beruht darauf, dass man die $1$ zu einer $K$-Basis von $A$ ergänzen kann. Mit dem von den anderen Basiselementen erzeugten $K$-Untervektorraum  $V\subset A$  ist dann  $A\cong K\cdot 1\oplus V$.  Im Allgemeinen muss es aber keinen $K$-Algebrahomomorphismus $A\to K$ geben. Bei einer (nichttrivialen) Körpererweiterung  $K\subset L$  gibt es keinen Ringhomomorphismus von $L$ nach $K$.