K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossen/Punkt/Halm ist Lokalisierung/Fakt/Beweis

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Beweis

Der Halm hat eine eindeutige Struktur als -Algebra, da ja die Gesamtmenge zum Filter gehört. Sei , . Dann ist auf der offenen Umgebung von definiert. Dabei gilt dort , so dass in dieser Menge und damit auch im Kolimes eine Einheit ist. Nach der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme gibt es also einen -Algebrahomomorphismus

den wir als bijektiv nachweisen müssen. Sei zuerst . Dieses Element wird repräsentiert durch eine algebraische Funktion mit . Insbesondere gibt es eine rationale Darstellung für in , d.h. auf und . Daher ist ein Element in der Lokalisierung , und dieses wird auf geschickt.

Zur Injektivität sei gegeben mit und vorausgesetzt, dass es als Element im Halm ist. Dies bedeutet, dass es eine offene Umgebung von gibt, auf der die Nullfunktion ist. Wir können annehmen, dass diese offene Menge die Form hat. Wegen Fakt gibt es dann auch eine Beschreibung . Das heisst nach Fakt, dass in ist. Dann ist auch in der Lokalisierung.

Zur bewiesenen Aussage