K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt/Beweis

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Beweis

Ein Element liefert direkt eine algebraische Funktion auf ganz , was einen -Algebrahomomorphismus

ergibt. Wenn dabei an jedem Punkt die Nullfunktion induziert, so ist nach Fakt und wegen der Reduziertheit auch . D.h. die Abbildung ist injektiv.

Sei nun ein algebraische Funktion. Dann gibt es zu jedem Punkt zwei Elemente mit und mit auf . Die bilden eine offene Überdeckung von und das bedeutet nach Fakt, dass die in das Einheitsideal erzeugen. Dann gibt es aber auch eine endliche Auswahl davon, die das Einheitsideal erzeugen, sagen wir , . Dann wiederum überdecken diese , , ganz .

Auf den Durchschnitten haben wir die Identitäten

Daraus folgt nach Fakt und der Reduziertheit, dass

in gilt. Wir ersetzen durch und durch . Dann ist nach wie vor eine lokale Beschreibung für , und die letzte Bedingung vereinfacht sich zu

Da die das Einheitsideal erzeugen, gibt es Elemente mit

in . Wir behaupten, dass das Element

auf ganz die Funktion induziert. Dazu sei ein beliebiger Punkt, und zwar sei ohne Einschränkung . Dann ist