K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt/Beweis

Beweis

Ein Element ${}F\in R$ liefert direkt eine algebraische Funktion auf ganz ${}V$, was einen ${}K$-Algebrahomomorphismus

$R\longrightarrow \Gamma (V,{\mathcal {O}})$

ergibt. Wenn dabei ${}F$ an jedem Punkt die Nullfunktion induziert, so ist nach Fakt und wegen der Reduziertheit auch ${}F=0$. D.h. die Abbildung ist injektiv.

Es sei nun ${}f\colon V\rightarrow K$ ein algebraische Funktion. Dann gibt es zu jedem Punkt ${}P\in V$ zwei Elemente ${}G_{P},H_{P}\in R$ mit ${}P\in D(H_{P})$ und mit ${}f={\frac {G_{P}}{H_{P}}}$ auf ${}D(H_{P})$. Die ${}D(H_{P})$ bilden eine offene Überdeckung von ${}V$ und das bedeutet nach Fakt, dass die ${}H_{P}$ in ${}R$ das Einheitsideal erzeugen. Dann gibt es aber auch eine endliche Auswahl davon, die das Einheitsideal erzeugen, sagen wir ${}H_{i}=H_{P_{i}}$, ${}i=1,\ldots ,m$. Dann wiederum überdecken diese ${}D(H_{i})$, ${}i=1,\ldots ,m$, ganz ${}V$.

Auf den Durchschnitten ${}D(H_{i}H_{j})=D(H_{i})\cap D(H_{j})$ haben wir die Identitäten

$f(Q)={\frac {G_{i}(Q)}{H_{i}(Q)}}={\frac {G_{j}(Q)}{H_{j}(Q)}}{\text{ für alle }}Q\in D(H_{i}H_{j}).$

Daraus folgt nach Fakt und der Reduziertheit, dass

${}H_{i}H_{j}G_{i}H_{j}=H_{i}H_{j}G_{j}H_{i}\,$

in ${}R$ gilt. Wir ersetzen ${}H_{i}$ durch ${}H_{i}^{2}$ und ${}G_{i}$ durch ${}G_{i}H_{i}$. Dann ist nach wie vor ${}G_{i}/H_{i}$ eine lokale Beschreibung für ${}f$, und die letzte Bedingung vereinfacht sich zu

${}H_{i}G_{j}=H_{j}G_{i}\,.$

Da die ${}H_{i}$ das Einheitsideal erzeugen, gibt es Elemente ${}A_{i}\in R$ mit

${}\sum _{i=1}^{m}A_{i}H_{i}=1\,$

in ${}R$. Wir behaupten, dass das Element

${}F=\sum _{i=1}^{m}A_{i}G_{i}\,$

auf ganz ${}V$ die Funktion ${}f$ induziert. Dazu sei ${}Q\in V$ ein beliebiger Punkt, und zwar sei ohne Einschränkung ${}Q\in D(H_{1})$. Dann ist

${}{\begin{aligned}f(Q)&={\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}\\&={\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}{\left(\sum _{i=1}^{m}A_{i}H_{i}\right)}(Q))\\&=\sum _{i=1}^{m}A_{i}(Q){\frac {G_{1}(Q)H_{i}(Q)}{H_{1}(Q)}}\\&=\sum _{i=1}^{m}A_{i}(Q)G_{i}(Q)\\&=F(Q).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage