Ein Element liefert direkt eine algebraische Funktion auf ganz , was einen
-Algebrahomomorphismus
-
ergibt. Wenn dabei an jedem Punkt die Nullfunktion induziert, so ist nach
Fakt
und wegen der Reduziertheit auch
.
D.h. die Abbildung ist injektiv.
Es sei nun
ein algebraische Funktion. Dann gibt es zu jedem Punkt zwei Elemente mit und mit
auf . Die bilden eine offene Überdeckung von und das bedeutet nach
Fakt,
dass die in das
Einheitsideal
erzeugen. Dann gibt es aber auch eine endliche Auswahl davon, die das Einheitsideal erzeugen, sagen wir , . Dann wiederum überdecken diese , , ganz .
Auf den Durchschnitten
haben wir die Identitäten
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Daraus folgt nach
Fakt
und der Reduziertheit, dass
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in gilt. Wir ersetzen durch und durch . Dann ist nach wie vor eine lokale Beschreibung für , und die letzte Bedingung vereinfacht sich zu
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Da die das Einheitsideal erzeugen, gibt es Elemente mit
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in . Wir behaupten, dass das Element
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auf ganz die Funktion induziert. Dazu sei ein beliebiger Punkt, und zwar sei ohne Einschränkung . Dann ist