KXY/Modulo X^2 Y^2/Kein zyklischer Restklassentest/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R=K[X,Y]/(X^{2},Y^{2})$ und ${}M=(X,Y)$ das maximale Ideal. Wir betrachten das Element ${}0\neq XY\in M$ und behaupten, dass für jeden surjektiven ${}R$-Modulhomomorphismus

$\varphi \colon M\longrightarrow Z$

in einen zyklischen ${}R$-Modul ${}Z$

${}\varphi (XY)=0\,$

ist. Die Elemente in ${}M$ haben eine eindeutige Darstellung ${}aX+bY+cXY$ mit ${}a,b,c\in K$. Daraus sieht man, dass ${}M$ nicht zyklisch ist. Ein surjektiver Homomorphismus nach ${}Z$ besitzt einen echten Kern. Wenn ${}aX+bY+cXY$ auf ${}0$ geht, muss aber auch ${}XY$ auf ${}0$ gehen, wie man sieht, wenn man die möglichen Fälle für ${}a,b,c$ betrachtet.