KXY/Modulo X^2 Y^2/Kein zyklischer Restklassentest/Beispiel

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Es sei ein Körper, und das maximale Ideal. Wir betrachten das Element und behaupten, dass für jeden surjektiven -Modulhomomorphismus

in einen zyklischen -Modul

ist. Die Elemente in haben eine eindeutige Darstellung mit . Daraus sieht man, dass nicht zyklisch ist. Ein surjektiver Homomorphismus nach besitzt einen echten Kern. Wenn auf geht, muss aber auch auf gehen, wie man sieht, wenn man die möglichen Fälle für betrachtet.