Kettenregel/R/Vektor und linearer Weg/Richtungsableitung/Bemerkung

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und

$f\colon G\longrightarrow W$

eine in ${}P\in G$ total differenzierbare Abbildung. Es sei ${}v\in V$ ein Vektor und

$\gamma \colon I\longrightarrow G,\,t\longmapsto P+tv,$

die zugehörige affin-lineare Abbildung durch diesen Punkt (dabei sei das reelle Intervall ${}I=[-a,a]$ so gewählt, dass ${}\gamma (I)\subseteq G$) liegt. Die zusammengesetzte Abbildung

$I\longrightarrow W,\,t\longmapsto f(\gamma (t)),$

wird zur Definition der Richtungsableitung von ${}f$ in ${}P$ in Richtung ${}v$ verwendet, es ist

${}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}={\left(f\circ \gamma \right)}'(0)\,.$

Das zur Kurve ${}f\circ \gamma$ gehörige totale Differential in ${}0$ von ${}\mathbb {R}$ nach ${}W$, also ${}\left(D(f\circ \gamma )\right)_{0}$, ist durch ${}1\mapsto {\left(f\circ \gamma \right)}'(0)$ festgelegt. Andererseits ist nach der Kettenregel

${}\left(D(f\circ \gamma )\right)_{0}=\left(Df\right)_{\gamma (0)}\circ \left(D\gamma \right)_{0}\,$

und somit ist

${}{\begin{aligned}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}&={\left(f\circ \gamma \right)}'(0)\\&=\left(D(f\circ \gamma )\right)_{0}(1)\\&={\left(\left(Df\right)_{\gamma (0)}\circ \left(D\gamma \right)_{0}\right)}(1)\\&=\left(Df\right)_{\gamma (0)}(\left(D\gamma \right)_{0}(1))\\&=\left(Df\right)_{\gamma (0)}(\gamma '(0))\\&=\left(Df\right)_{P}(v).\end{aligned}}$

Dies ergibt einen neuen Beweis für Fakt.