Wir skizzieren einen Beweis für die allgemeine lineare Gruppe
. Sie enthält die
unitäre Gruppe
als Untergruppe, die nach
Aufgabe
kompakt
ist. Für
ist beispielsweise
und
,
die
ist eine kompakte Gruppe, deren Zariski-Abschluss ganz
ist, da ein Polynom, das auf
verschwindet, das Nullpolynom sein muss. Bei größerem
ist die Argumentation deutlich komplizierter.
Wir benutzen die Exponentialabbildung für Matrizen, also die Abbildung
-
Dabei bedeutet
die
-te Potenz der Matrix bezüglich der Matrizenmultiplikation. Man kann zeigen, dass die definierende Reihe gegen eine invertierbare Matrix konvergiert, sodass die Abbildung wohldefiniert ist und dass sie analytisch ist, also in jeder Koordinaten durch eine Potenzreihe in
vielen komplexen Variablen gegeben ist. Insbesondere ist die Abbildung komplex-differenzierbar. Ferner ist die Exponentialabbildung surjektiv.
Wir betrachten nun den Untervektorraum der
schiefhermiteschen Matrizen,
das sind diejenigen Matrizen
mit
.
Das sind diejenigen Matrizen, die für beliebige Vektoren
die Bedingung
-

für das
Standardskalarprodukt
erfüllen. Wir behaupten, dass die schiefhermiteschen Matrizen unter der Exponentialabbildung auf unitäre Matrizen abgebildet werden. Es sei also
eine schiefhermitesche Matrix. Aufgrund der eben formulierten Eigenschaft gilt für eine beliebige quadratische Matrix
und Vektoren
die Gleichheit
-

Für
mit einem beliebigen
(reellen oder komplexen Parameter)
ergibt dies
-

Dieser Ausdruck ist aber die
Ableitung
der Abbildung
-
was man sieht, wenn man diese Abbildung als Hintereinanderschaltung
-
mit
-
schreibt. Daher ist
unabhängig von
und somit gleich
, da dies der Wert für
ist. Also ist
eine Isometrie für jedes
und insbesondere ist
eine Isometrie, also eine unitäre Matrix.
Wir müssen jetzt zeigen, dass der Zariski-Abschluss der unitären Gruppe gleich der allgemeinen lineare Gruppe ist. Dazu sei
ein Polynom in
Variablen, das auf der unitären Gruppe verschwindet. Es ist
zu zeigen. Wir betrachten die Verknüpfung
,
die eine holomorphe Funktion auf
ist. Wegen der erwähnten Surjektivität der Exponentialfunktion genügt es zu zeigen, dass
ist. Nach der Vorüberlegung verschwindet
auf dem reellen Untervektorraum der schiefhermiteschen Matrizen. Daher verschwindet auch die Ableitung
auf diesem Untervektorraum für jeden Punkt
. Wir betrachten daher zuerst den Fall einer komplexen Linearform
auf
, die auf den schiefhermiteschen Matrizen verschwindet. Wir ersetzen die Variablen
von
durch
(
).
Die Bedingung schiefhermitesch bedeutet in diesen Variablen, dass die Imaginärteile von
und dass die Realteile von
gleich
sind. Der
Kern
von
enthält also zu jedem Element
der transformierten Basis eine volle reelle Gerade
und damit muss überhaupt
zum Kern gehören, d.h.
.
Dies bedeutet wiederum, dass
,
und daher ist
konstant, also
.