Kommutative Algebra/Ringtheorie/Ring modulo maximalem Ideal/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei ein maximales Ideal in . Um zu zeigen, dass der Restklassenring ein Körper ist, muss zu jedem Element ein inverses Element gefunden werden. Die Menge

ist ein Ideal in .

Weiterhin ist und aufgrund der Maximalität von ist also .

Da ist, gibt es und derart, dass ist. Dies bedeutet, dass das multiplikative Inverse zu x ist. ist also ein Körper.

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