Kommutative Algebra/Ringtheorie/Ring modulo maximalem Ideal/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein maximales Ideal in ${}R$. Um zu zeigen, dass der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ ein Körper ist, muss zu jedem Element ${}x\in R/{\mathfrak {a}},x\neq 0$ ein inverses Element ${}x^{-1}$ gefunden werden. Die Menge

${}K:=\{f+r\cdot x{|}f\in {\mathfrak {a}},r\in R\}\,$

ist ein Ideal in ${}R$.

Weiterhin ist ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K$ und aufgrund der Maximalität von ${}{\mathfrak {a}}$ ist also ${}K=R$.

Da ${}1\in K$ ist, gibt es ${}f\in {\mathfrak {a}}$ und ${}s\in R$ derart, dass ${}1=f+s\cdot x$ ist. Dies bedeutet, dass ${}s+{\mathfrak {a}}$ das multiplikative Inverse zu x ist. ${}R/{\mathfrak {a}}$ ist also ein Körper.

Zur bewiesenen Aussage