Kommutative Gruppe/Homomorphismus/Primzahl/Tate-Modul/Fakt

Es seien ${}G$ und ${}H$ kommutative Gruppen und sei ${}\ell$ eine Primzahl. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

1. Ein Gruppenhomomorphismus ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ induziert einen Homomorphismus

   $\varphi _{\ell }\colon T_{\ell }(G)\longrightarrow T_{\ell }(H)$

   der zugehörigen ${}\ell$-adischen Tate-Moduln.

2. Dabei liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus

   $\operatorname {Hom} _{}{\left(G,H\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{}{\left(T_{\ell }(G),T_{\ell }(H)\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi _{\ell },$

   vor.

3. Die Abbildung

   $\operatorname {End} _{}{\left(G\right)}\longrightarrow \operatorname {End} _{}{\left(T_{\ell }(G)\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi _{\ell },$

   ist ein Ringhomomorphismus des Endomorphismenringes von ${}G$ in den Endomorphismenring des Tate-Moduls.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen