Kommutative Gruppe/Homomorphismus/Primzahl/Tate-Modul/Fakt

Es seien $G$ und $H$ kommutative Gruppen und sei $\ell$ eine Primzahl. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

1. Ein Gruppenhomomorphismus $\phi :G\to H$ induziert einen Homomorphismus

   ${\phi }_{\ell }:T_{\ell }(G)⟶T_{\ell }(H)$

   der zugehörigen $\ell$-adischen Tate-Moduln.

2. Dabei liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus

   ${\mathrm{Hom}}_{}(G,H)⟶{\mathrm{Hom}}_{}(T_{\ell }(G),T_{\ell }(H)),\phi ⟼{\phi }_{\ell },$

   vor.

3. Die Abbildung

   ${\mathrm{End}}_{}\left(G\right)⟶{\mathrm{End}}_{}(T_{\ell }(G)),\phi ⟼{\phi }_{\ell },$

   ist ein Ringhomomorphismus des Endomorphismenringes von $G$ in den Endomorphismenring des Tate-Moduls.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen