Kommutative Gruppe/Irreduzible Darstellung/Eindimensional/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei

eine irreduzible Darstellung. Wegen der Kommutativität von gilt für die zu gehörenden linearen Abbildungen

Aus Fakt, angewandt für festes und alle , folgt, dass eine Streckung ist. Dann sind aber überhaupt sämtliche Automorphismen der Darstellung Streckungen. Unter einer Streckung ist aber jeder Untervektorraum invariant, so dass in diesem Fall jeder Untervektorraum -invariant ist. Dann muss aber wegen der Irreduzibilität eindimensional sein.