Kommutative Gruppe/Irreduzible Darstellung/Eindimensional/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$

eine irreduzible Darstellung. Wegen der Kommutativität von ${}G$ gilt für die zu ${}\sigma ,\tau \in G$ gehörenden linearen Abbildungen

${}\sigma \circ \tau =\tau \circ \sigma \,.$

Aus Fakt, angewandt für festes ${}\tau$ und alle ${}\sigma$, folgt, dass ${}\tau$ eine Streckung ist. Dann sind aber überhaupt sämtliche Automorphismen der Darstellung Streckungen. Unter einer Streckung ist aber jeder Untervektorraum invariant, sodass in diesem Fall jeder Untervektorraum ${}G$-invariant ist. Dann muss aber wegen der Irreduzibilität ${}V$ eindimensional sein.

Zur bewiesenen Aussage