Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt/Beweis

Beweis

Die $m_{i},\,i\in I$, bilden genau dann ein Monoid-Erzeugendensystem für ${}M$, wenn der Monoidhomomorphismus ${}{\mathbb {N} }^{(I)}\rightarrow M$ surjektiv ist. Dies ist nach Fakt genau dann der Fall, wenn der zugehörige Homomorphismus

$R[X_{i},i\in I]\longrightarrow R[M],\,X_{i}\longmapsto X^{m_{i}},$

surjektiv ist. Dies ist aber genau dann der Fall, wenn die ${}X^{m_{i}}$ ein ${}R$-Algebra-Erzeugendensystem bilden.

Zur bewiesenen Aussage