Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt/Beweis

Beweis

Die $m_i,i\in I$, bilden genau dann ein Monoid-Erzeugendensystem für $M$, wenn der Monoidhomomorphismus ${\mathbb{N}}^{(I)}\to M$ surjektiv ist. Dies ist nach Fakt genau dann der Fall, wenn der zugehörige Homomorphismus

$R[X_i,i\in I]⟶R[M],X_i⟼X^{m_i},$

surjektiv ist. Dies ist aber genau dann der Fall, wenn die $X^{m_i}$ ein $R$-Algebra-Erzeugendensystem bilden.

Zur bewiesenen Aussage