Kommutative Ringtheorie/Ideal/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. ${}0\in {\mathfrak {a}}$.
2. Für alle ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$.
3. Für alle ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}r\in R$ ist auch ${}ra\in {\mathfrak {a}}$.

Die Eigenschaft ${}0\in {\mathfrak {a}}$ kann man durch die Bedingung ersetzen, dass ${}{\mathfrak {a}}$ nicht leer ist. Ein Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von ${}R$, die zusätzlich unter Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Definition

Zu einer Familie von Elementen ${}a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in R$ in einem kommutativen Ring ${}R$ bezeichnet ${}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ das von diesen Elementen erzeugte Ideal. Es besteht aus allen Linearkombinationen

$r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n},$

wobei ${}r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\in R$ sind.

Definition

Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ der Form

${}{\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,$

heißt Hauptideal.

Das Nullelement bildet in jedem Ring das sogenannte Nullideal, was wir einfach als ${}0=(0)=\{0\}$ schreiben. Die ${}1$ und überhaupt jede Einheit erzeugt als Ideal schon den ganzen Ring.

Definition

Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring ${}R$ ist der Ring selbst.

In einem Körper gibt es nur diese beiden Ideale.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist ein Körper.
2. Es gibt in ${}R$ genau zwei Ideale.

Beweis

Wenn ${}R$ ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Es sei ${}I$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$. Dann enthält ${}I$ ein Element ${}x\neq 0$, das eine Einheit ist. Damit ist ${}1=xx^{-1}\in I$ und damit ${}I=R$.

Es sei umgekehrt ${}R$ ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann ${}R$ nicht der Nullring sein. Es sei nun ${}x$ ein von ${}0$ verschiedenes Element in ${}R$. Das von ${}x$ erzeugte Hauptideal ${}Rx$ ist ${}\neq 0$ und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass ${}1\in Rx$ ist. Das bedeutet also ${}1=xr$ für ein ${}r\in R$, sodass ${}x$ eine Einheit ist.

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