Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Paare/Äquivalenzrelation/Wohldefiniertheit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass die Überkreuzrelation auf der Produktmenge ${}R\times S$ eine Äquivalenzrelation ist, und dass für die Äquivalenzklassen ${}{\frac {r}{s}}:=[(r,s)]$ durch

${}{\frac {r}{s}}+{\frac {r'}{s'}}:={\frac {rs'+r's}{ss'}}\,$

eine wohldefinierte Addition und durch

${}{\frac {r}{s}}\cdot {\frac {r'}{s'}}:={\frac {rr'}{ss'}}\,$

eine wohldefinierte Multiplikation gegeben ist, derart, dass die Quotientenmenge ein kommutativer Ring wird.

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