Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme/Als gerichtetes System/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System. Auf ${}S$ betrachten wir folgende (partielle) Ordnung, und zwar sagen wir  ${}f\preccurlyeq g$,  falls ${}f$ eine Potenz von ${}g$ teilt (und wir identifizieren zwei Elemente, wenn diese Relation in beide Richtungen vorliegt). Zeige, dass die kommutativen Ringe

$R_{f},\,f\in S,$

ein gerichtetes System bilden, und dass für den Kolimes

${}\operatorname {colim} _{f\in S}R_{f}=R_{S}\,$

gilt.

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