Kommutativer Ring/Graduiert/Z/Graduierter Modul/Kern und Kokern/Aufgabe

Es sei ${}R=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }R_{d}$ ein kommutativer ${}\mathbb {Z}$-graduierter Ring und seien ${}M=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }M_{d}$ und ${}N=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }N_{d}$ ${}\mathbb {Z}$-graduierte Moduln über ${}R$. Es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

ein homogener Modulhomomorphismus. Zeige, dass der Kern, das Bild und der Kokern von ${}\varphi$ wieder ${}\mathbb {Z}$-graduierte ${}R$-Moduln sind.

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