Kommutativer Ring/Ideale und Hauptideale/2/Einführung/Textabschnitt

Alle Vielfachen der ${}5$, also ${}\mathbb {Z} 5$, bilden ein Ideal im Sinne der folgenden Definition.

Definition

Eine Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. ${}0\in {\mathfrak {a}}$.
2. Für alle ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$.
3. Für alle ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}r\in R$ ist auch ${}ra\in {\mathfrak {a}}$.

Definition

Zu einer Familie von Elementen ${}a_{j}\in R$, ${}j\in J$, in einem kommutativen Ring ${}R$ bezeichnet ${}(a_{j}:j\in J)$ das von den ${}a_{j}$ erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

$\sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},$

wobei ${}J_{0}\subseteq J$ eine endliche Teilmenge und ${}r_{j}\in R$ ist.

Definition

Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ der Form

${}{\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,$

heißt Hauptideal.

Mit dem Idealbegriff lassen sich Teilbarkeitsbeziehungen ausdrücken.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}a,b\in R$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Element ${}a$ ist ein Teiler von ${}b$ (also ${}a{|}b$), genau dann, wenn ${}(b)\subseteq (a)$.
2. ${}a$ ist eine Einheit genau dann, wenn ${}(a)=R=(1)$.
3. Ist ${}R$ ein Integritätsbereich, so gilt ${}(a)=(b)$ genau dann, wenn ${}a$ und ${}b$ assoziiert sind.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Definition

Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring. Ein integrer Hauptidealring heißt Hauptidealbereich.