Kompakte Menge im R^n/Stetig/Gleichmäßig stetig/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

 Wir nehmen an, dass ${}f$ nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein  ${}\epsilon >0$  derart, dass für kein  ${}\delta >0$  die Beziehung  ${}f(U{\left(x,\delta \right)})\subseteq U{\left(f(x),\epsilon \right)}$  für alle  ${}x\in T$  erfüllt ist. Insbesondere gibt es also für jedes  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  ein Paar  ${}x_{n},y_{n}\in T$  mit  ${}d{\left(x_{n},y_{n}\right)}\leq {\frac {1}{n}}$,  aber mit  ${}d{\left(f(x_{n}),f(y_{n})\right)}\geq \epsilon$.  Wegen der Kompaktheit gibt es aufgrund von Fakt eine Teilfolge ${}(x_{n})_{n\in N}$ (dabei ist ${}N\subseteq \mathbb {N}$ unendlich) von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen ein  ${}x\in T$  konvergiert. Die entsprechende Teilfolge ${}(y_{n})_{n\in N}$ konvergiert ebenfalls gegen ${}x$. Wegen der Stetigkeit konvergieren die beiden Bildfolgen ${}(f(x_{n}))_{n\in N}$ und ${}(f(y_{n}))_{n\in N}$ gegen ${}f(x)$. Dies ergibt aber einen Widerspruch, da  ${}d{\left(f(x_{n}),f(y_{n})\right)}\geq \epsilon$ 

ist.

Zur gelösten Aufgabe