Kompakte riemannsche Fläche/Divisor/Riemann-Roch/Fakt/Beweis

Beweis

Die Aussage ist für die Strukturgarbe richtig, da diese zum trivialen Divisor ${}0$ gehört und da

${}h^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=1\,$

nach Fakt ist.

Zu einem Punkt ${}P\in X$ betrachtet man die kurze exakte Garbensequenz

$0\longrightarrow {\mathcal {I}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathbb {C} }_{P}\longrightarrow 0,$

wobei ${}{\mathcal {I}}_{P}={\mathcal {O}}_{X}(-P)$ die invertierbare Idealgarbe zu dem Punkt ${}P$ ist und rechts ${}{\mathbb {C} }_{P}$ die eindimensionale Wolkenkratzergarbe mit Träger ${}P$ bezeichnet, siehe Fakt. Die Tensorierung dieser Sequenz mit einer invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {L}}$ ergibt

$0\longrightarrow {\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}\longrightarrow {\mathcal {L}}\longrightarrow {\mathbb {C} }_{P}\otimes {\mathcal {L}}={\mathbb {C} }_{P}\longrightarrow 0.$

Diese exakten Sequenzen stiften eine Beziehung zwischen den beiden invertierbaren Garben ${}{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}$ und ${}{\mathcal {L}}$, die sich um den Punkt ${}P$ „unterscheiden“. Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz ist

$0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} }\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {L}})\longrightarrow 0,$

da ${}h^{0}(X,{\mathbb {C} }_{P})=1$ und ${}h^{1}(X,{\mathbb {C} }_{P})=0$ gilt, da ${}{\mathbb {C} }_{P}$ eine welke Garbe ist. Für die Dimensionen ergibt sich die Beziehung

$h^{0}(X,{\mathcal {L}})-h^{1}(X,{\mathcal {L}})=h^{0}(X,{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})-h^{1}(X,{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})+1\,,$

wobei insbesondere beiden Kohomologien zu ${}{\mathcal {L}}$ genau dann endlichdimensional sind, wenn dies für ${}{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}$ gilt. Wegen

${}\operatorname {Grad} \,({\mathcal {I}}_{P})=-1\,$

ist nach Fakt

${}\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})=\operatorname {Grad} \,({\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})+1\,$

und der Grad verhält sich wie die Differenz der Dimensionen der nullten und der ersten Kohomologie. Die Formel von Riemann-Roch gilt also genau dann für ${}{\mathcal {L}}$, wenn sie für ${}{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}$ gilt. Da jede invertierbare Garbe auf der riemannschen Fläche die Form ${}{\mathcal {O}}_{X}(-D)$ zu einem Divisor ${}D$ besitzt, kann man jede invertierbare Garbe ausgehend von der Strukturgarbe durch eine endliche Hinzu- oder Wegnahme von Punkten erhalten. Daher gilt die Formel für alle invertierbaren Garben.

Zur bewiesenen Aussage