Kompakte riemannsche Fläche/Divisorengruppe Grad 0/Jacobische Varietät/Abbildung/Definition

Abel-Jacobi-Abbildung

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und sei ${}\operatorname {Div} \,(X)_{0}$ die Divisorengruppe auf ${}X$ vom Grad ${}0$. Es sei ${}J(X)={\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}/\operatorname {Per}$ die Jacobische Varietät zu ${}X$. Dann nennt man die Abbildung

$\operatorname {Div} \,(X)_{0}\longrightarrow J(X),\,\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}\longmapsto {\left(\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega \right)},$

die Abel-Jacobi-Abbildung. Dabei ist jeweils ein stetiger Weg von ${}Q_{i}$ nach ${}P_{i}$ zu wählen.