Kompakte riemannsche Fläche/Geschlecht 1/Divisor Grad 3/Relation/Aufgabe/Lösung

1. Für jede invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ von positivem Grad auf einer riemannschen Fläche vom Geschlecht ${}1$ ist nach Aufgabe die erste Kohomologie gleich ${}0$ und nach Riemann-Roch ist daher

   ${}h^{0}(X,{\mathcal {L}})=\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})\,.$

   Wenn speziell ${}D$ den Grad ${}3$ besitzt, so ist der Raum ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$ dreidimensional.

2. Nach Teil (1) ist der Raum ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(3D)\right)}$ neundimensional. Die Basis ${}x,y,z$ von ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$ definiert mit Aufgabe Elemente ${}x^{3},y^{3},z^{3},xyz,xy^{2},xz^{2},yx^{2},yz^{2},zx^{2},zy^{2}$ in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(3D)\right)}$. Dies sind zehn Elemente in einem neundimensionalen Vektorraum, also müssen sie eine nichttriviale lineare Relation erfüllen.

Zur gelösten Aufgabe