Kompakte riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Dualraum/Periodengitter/Gitter/Fakt/Beweis

Beweis

Wir fixieren eine Basis ${}\omega _{1},\ldots ,\omega _{g}$ von ${}\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}$. Es sei

${}\operatorname {Per} (\gamma ):=\left(\int _{\gamma }\omega _{1},\,\ldots ,\,\int _{\gamma }\omega _{g}\right)\in {\mathbb {C} }^{g}\,$

der Periodenvektor zu einem geschlossenen Weg ${}\gamma$. Zu einer Basis ${}\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{2g}$ von ${}H_{1}(X,\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} ^{2g}$ ist zu zeigen, dass die ${}2g$ Vektoren ${}\operatorname {Per} (\gamma _{1}),\ldots ,\operatorname {Per} (\gamma _{2g})$ über ${}\mathbb {R}$ linear unabhängig sind. Es seien ${}\alpha _{i}\in \mathbb {R}$ mit

${}\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\operatorname {Per} (\gamma _{i})=0\,.$

Dann gilt

${}\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}\omega _{j}=0\,$

für alle holomorphen Basisformen ${}\omega _{j}$. Dann gilt auch

${}\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}{\overline {\omega }}_{j}=0\,$

für alle konjugierten Differentialformen, siehe Bemerkung. Die beiden Unterräume ${}H^{0}(X,\Omega _{X})$ und ${}H^{0}(X,{\overline {\Omega }}_{X})$ erzeugen über den Ausschitt

$0\longrightarrow H^{0}(X,\Omega _{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathbb {C} })\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow ...$

der langen exakten Kohomologiesequenz zu Fakt bzw. das antiholomorphe Analogon den ${}2g$-dimensionalen Raum ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })$. Somit gilt auch

${}\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}c=0\,$

für jede Kohomologieklasse ${}c\in H^{1}(X,{\mathbb {C} })$. Nach Fakt ist wegen der Übereinstimmungen der Dimensionen

${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(H_{1}(X,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(H_{1}(X,\mathbb {R} ),{\mathbb {C} }\right)}\,.$

Dann geht ${}\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\gamma _{i}\in H_{1}(X,\mathbb {R} )$ unter jeder Auswertung rechts auf ${}0$ und muss daher selbst ${}0$ sein. Somit sind alle ${}\alpha _{i}=0$.

Zur bewiesenen Aussage