Komplettierung/Restklassenring/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}$ Ideale in ${}R$ mit dem Ideal

${}{\mathfrak {a}}'={\mathfrak {a}}R/{\mathfrak {b}}\,$

im Restklassenring ${}R/{\mathfrak {b}}$.

Dann ist die Komplettierung

${\widehat {R/{\mathfrak {b}},{\mathfrak {a}}R/{\mathfrak {b}}}}$

isomorph zum Restklassenring ${}{\widehat {R,{\mathfrak {a}}}}/{\mathfrak {b}}{\widehat {R,{\mathfrak {a}}}}$.

Beweis

Kommutativer Ring/Ideal/Komplettierung/Restklassenring/Fakt/Beweis

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über ${}K$ und ${}{\mathfrak {b}}\subseteq (X_{1},\ldots ,X_{n})$ ein Ideal.

Dann ist die Komplettierung von ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {b}}$ bezüglich dem maximalen Ideal ${}(X_{1},\ldots ,X_{n})K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {b}}$ gleich

$K[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]/{\mathfrak {b}}K[[X_{1},\ldots ,X_{n}]].$

Beweis

Dies ergibt sich aus Fakt und Fakt.

$\Box$

Wenn beispielsweise

${}{\mathfrak {b}}=(f)\,$

ein Hauptideal ist, so ist die Komplettierung von ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f)$ am maximalen Ideal ${}(X_{1},\ldots ,X_{n})$ gleich ${}K[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]/(f)$.