Komplexe Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Dann nennt man die Menge

${}TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,,$

versehen mit der Projektionsabbildung

$\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P,$

das Tangentialbündel von ${}M$.

Definition

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$ und

${}TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,$

das Tangentialbündel, versehen mit der Projektionsabbildung

$\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P.$

Das Tangentialbündel wird mit derjenigen Topologie versehen, bei der eine Teilmenge ${}W\subseteq TM$ genau dann offen ist, wenn für jede Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

die Menge ${}(T(\alpha )){\left(W\cap \pi ^{-1}(U)\right)}$ offen in ${}V\times \mathbb {R} ^{n}$ ist.

Das Tangentialbündel zu einer offenen Menge ${}V={\mathbb {C} }^{n}$ ist einfach ${}V\times {\mathbb {C} }^{n}$ mit der Produkttopologie. Zu einer offenen Menge ${}U\subseteq M$ ist ${}TU\subseteq TM$ eine offene Teilmenge. Wenn eine Karte ${}\alpha \colon U\rightarrow V$ vorliegt, so liegt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}TU&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&V\times {\mathbb {C} }^{n}&\\\downarrow &&\downarrow &\\U&{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}&V&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor, wobei die obere horizontale Abbildung für jeden Punkt ${}P\in U$ der natürliche Isomorphismus ${}T_{P}M\cong {\mathbb {C} }^{n}$ ist. Diese Abbildungen kann man wiederum als Karten für ${}TM$ nehmen und erhält dadurch auf dem Tangentialbündel die Struktur einer komplexen Mannigfaltigkeit der Dimension ${}2n$.