Komplexe Zahlen/Beliebige Wurzel/Über Polarkoordinaten/Fakt/Beweis

Beweis

Bei  $z=0$  ist  $w=0$  eine Lösung, sei also  $z\ne 0$.  Nach Fakt gibt es eine Darstellung

$z=r{e}^{\mathrm{i}\phi }$

mit  $r\in {ℝ}_{+}$.  Es sei  $s=r^{1/n}$  die reelle $n$-te Wurzel von $r$, die nach Fakt existiert. Wir setzen  $w=s{e}^{\frac{\mathrm{i}\phi }{n}}$.  Dann ist nach Fakt

$w^n={\left(s{e}^{\frac{\mathrm{i}\phi }{n}}\right)}^n=s^n{\left(e^{\frac{\mathrm{i}\phi }{n}}\right)}^n=r{e}^{n\frac{\mathrm{i}\phi }{n}}=r{e}^{\mathrm{i}\phi }=z.$

Zur bewiesenen Aussage