Komplexe Zahlen/Beliebige Wurzel/Über Polarkoordinaten/Fakt/Beweis

Beweis

Bei  ${}z=0$  ist  ${}w=0$  eine Lösung, sei also  ${}z\neq 0$.  Nach Fakt gibt es eine Darstellung

${}z=re^{{\mathrm {i} }\varphi }\,$

mit  ${}r\in \mathbb {R} _{+}$.  Es sei  ${}s=r^{1/n}$  die reelle ${}n$-te Wurzel von ${}r$, die nach Fakt existiert. Wir setzen  ${}w=se^{\frac {{\mathrm {i} }\varphi }{n}}$.  Dann ist nach Fakt

${}w^{n}={\left(se^{\frac {{\mathrm {i} }\varphi }{n}}\right)}^{n}=s^{n}{\left(e^{\frac {{\mathrm {i} }\varphi }{n}}\right)}^{n}=re^{n{\frac {{\mathrm {i} }\varphi }{n}}}=re^{{\mathrm {i} }\varphi }=z\,.$

Zur bewiesenen Aussage