Komplexe Zahlen/Beliebige Wurzel/Über Polarkoordinaten/Fakt/Beweis

Beweis

Bei ${}z=0$ ist ${}w=0$ eine Lösung, sei also ${}z\neq 0$. Nach Fakt gibt es eine Darstellung

${}z=re^{{\mathrm {i} }\varphi }\,$

mit ${}r\in \mathbb {R} _{+}$. Es sei ${}s=r^{1/n}$ die reelle ${}n$-te Wurzel von ${}r$, die nach Fakt existiert. Wir setzen ${}w=se^{\frac {{\mathrm {i} }\varphi }{n}}$. Dann ist nach Fakt

${}w^{n}={\left(se^{\frac {{\mathrm {i} }\varphi }{n}}\right)}^{n}=s^{n}{\left(e^{\frac {{\mathrm {i} }\varphi }{n}}\right)}^{n}=re^{n{\frac {{\mathrm {i} }\varphi }{n}}}=re^{{\mathrm {i} }\varphi }=z\,.$

Zur bewiesenen Aussage