Komplexe Zahlen/Kreisring/Biholomorphe Abbildungen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei  $a\in ℂ$  und  $0\le r<R$  reelle Zahlen. Unter dem offenen Kreisring versteht man die Menge

$U(a,r,R)=U(a,R)\setminus B(a,r).$

Es wird also aus einer größeren offenen Kreisscheibe eine kleinere konzentrische abgeschlossene Kreisscheibe herausgenommen. Die Offenheit beruht auf der Beschreibung

$U(a,r,R)=U(a,R)\cap (ℂ\setminus B(a,r)).$

Statt Kreisring sagt man auch Annulus. Die reellen Zahlen $r$ und $R$ heißen die Radien des Kreisringes, oft erlaubt man für den oberen Radius auch $\mathrm{\infty }$. Der Fall  $r=0$  ist ausdrücklich erlaubt, dann wird nur der eine Punkt $\{a\}$ herausgenommen. Häufig nimmt man $0$ als Mittelpunkt, dann schreibt man einfach $U(r,R)$.

Definition

Es sei  $a\in ℂ$  und  $r>0$  eine reelle Zahl. Unter der punktierten Kreisscheibe (mit Mittelpunkt $a$ und Radius $r$) versteht man die Menge

$U(a,r)\setminus \{a\}.$

Die punktierte Kreisscheibe ist ein spezieller offener Kreisring, wobei der kleinere Radius gleich $0$ ist.

Lemma

Jeder offene Kreisring $U(a,r,R)$,  $R\in {ℝ}_{+}$, 

ist biholomorph zu einem Kreisring der Form $U(0,s,1)$ mit

$0\le s=\frac{r}{R}<1.$

Beweis

Durch eine Verschiebung erhält man den offenen Kreisring $U(0,r,R)$. Durch Multiplikation mit $\frac{1}{R}$ geht dieser in den Kreisring $U(0,\frac{r}{R},1)$ über.

$◻$

Der nach außen unbeschränkte Kreisring ist zur punktierten Kreisscheibe biholomorph, siehe Aufgabe.

Lemma

Es sei $U(r,R)$ der offene Kreisring zu den Radien  $0<r<R$  um den Nullpunkt.

Dann induziert die komplexe Invertierung eine biholomorphe Abbildung

$U(r,R)⟶U(R^{-1},r^{-1}).$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$