Komplexe Zahlen/Kreisring/Biholomorphe Abbildungen/Einführung/Textabschnitt
Definition
Es sei und reelle Zahlen. Unter dem offenen Kreisring versteht man die Menge
Es wird also aus einer größeren offenen Kreisscheibe eine kleinere konzentrische abgeschlossene Kreisscheibe herausgenommen. Die Offenheit beruht auf der Beschreibung
Statt Kreisring sagt man auch Annulus. Die reellen Zahlen und heißen die Radien des Kreisringes, oft erlaubt man für den oberen Radius auch . Der Fall ist ausdrücklich erlaubt, dann wird nur der eine Punkt herausgenommen. Häufig nimmt man als Mittelpunkt, dann schreibt man einfach .
Definition
Es sei und eine reelle Zahl. Unter der punktierten Kreisscheibe (mit Mittelpunkt und Radius ) versteht man die Menge
Die punktierte Kreisscheibe ist ein spezieller offener Kreisring, wobei der kleinere Radius gleich ist.
Lemma
Beweis
Durch eine Verschiebung erhält man den offenen Kreisring . Durch Multiplikation mit geht dieser in den Kreisring über.
Der nach außen unbeschränkte Kreisring ist zur punktierten Kreisscheibe biholomorph, siehe
Aufgabe.
Lemma
Es sei der offene Kreisring zu den Radien um den Nullpunkt.
Dann induziert die komplexe Invertierung eine biholomorphe Abbildung
