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Rationale Funktionen/C/Ableitungseigenschaften/Partialbruchzerlegung/Einführung/Textabschnitt

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Zu Polynomen , , heißt die Funktion

wobei das Komplement der Nullstellen von ist, eine rationale Funktion.

Polynomfunktionen sind insbesondere rationale Funktionen. Die einfachste rationale Funktion, die keine Polynomfunktion ist, ist die komplexe Invertierung

Sie ist im Nullpunkt nicht definiert und lässt sich im Nullpunkt auch nicht stetig fortsetzen. Dies beruht darauf, dass sich auch die zugehörige Betragsfunktion, also

nicht stetig fortsetzen lässt. Reell betrachtet handelt es sich um die Abbildung

und für jede Folge, die in der Ebene gegen konvergiert, divergiert die Bildfolge bestimmt gegen . Für jede endliche Punktmenge ist die rationale Funktion

eine auf definierte rationale Funktion, die sich in die Punkte nicht stetig fortsetzen kann.



Es seien Polynome und es sei .

Dann ist die rationale Funktion

differenzierbar mit der Ableitung

Dies folgt aus Fakt und der Quotientenregel.



Für ist die (auf definierte) rationale Funktion mit

differenzierbar, mit der Ableitung

Dies folgt direkt aus Fakt.


Damit gilt diese Formel für alle Potenzen einer normierten Linearform mit einem ganzzahligen Exponenten. Im reellen Fall gilt sie auch für beliebige reelle positive Argumente und beliebige reelle Exponenten, siehe Fakt. Im komplexen Fall ist ein Ausdruck wie

gar nicht definiert, und lässt sich auch nicht komplex-differenzierbar auf ganz definieren.

Eine rationale Funktion wie ist keine ganze Funktion. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra ergibt sich, dass eine rationale Funktion nur dann ganz ist, wenn sie ein Polynom ist.

Der folgende Satz heißt Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.


Es seien , , Polynome und es sei

mit verschiedenen .

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom und eindeutig bestimmte Koeffizienten , , , mit

Die Division mit Rest liefert eine eindeutige Darstellung

mit . Wir müssen daher die Aussage nur für Quotienten aus Polynomen zeigen, bei denen der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist. Wir führen Induktion über den Grad des Nennerpolynoms. Bei ist nichts zu zeigen, denn der Quotient steht bereits in der gewünschten Form. Es sei nun ein Nennerpolynom vom Grad und die Aussage sei für kleineren Grad bereits bewiesen. Es sei ein Linearfaktor von , sodass wir

schreiben können, wobei den Grad besitzt. Die Ordnung von in sei . Wir setzen

an. Dies führt auf

aus der wir und bestimmen wollen. Da die Gleichheit insbesondere für gelten soll, muss

sein, wobei diese Division erlaubt ist, da die als verschieden vorausgesetzt worden sind. Wir betrachten nun

mit dem soeben bestimmten Wert . Für diese Differenz ist dann nach Konstruktion eine Nullstelle, sodass man nach Fakt durch teilen kann, also

erhält. Dadurch ist eindeutig festgelegt. Der Grad von ist kleiner als der Grad von und daher ist der Grad von auch kleiner als der Grad von . Daher können wir auf die Induktionsvoraussetzung anwenden.