Rationale Funktionen/C/Ableitungseigenschaften/Partialbruchzerlegung/Einführung/Textabschnitt
Zu Polynomen , , heißt die Funktion
wobei das Komplement der Nullstellen von ist, eine rationale Funktion.
Polynomfunktionen sind insbesondere rationale Funktionen. Die einfachste rationale Funktion, die keine Polynomfunktion ist, ist die komplexe Invertierung
Sie ist im Nullpunkt nicht definiert und lässt sich im Nullpunkt auch nicht stetig fortsetzen. Dies beruht darauf, dass sich auch die zugehörige Betragsfunktion, also
nicht stetig fortsetzen lässt. Reell betrachtet handelt es sich um die Abbildung
und für jede Folge, die in der Ebene gegen konvergiert, divergiert die Bildfolge bestimmt gegen . Für jede endliche Punktmenge ist die rationale Funktion
eine auf definierte rationale Funktion, die sich in die Punkte nicht stetig fortsetzen kann.
Dies folgt aus Fakt und der Quotientenregel.
Dies folgt direkt aus Fakt.
Damit gilt diese Formel für alle Potenzen einer normierten Linearform mit einem ganzzahligen Exponenten. Im reellen Fall gilt sie auch für beliebige reelle positive Argumente und beliebige reelle Exponenten, siehe
Fakt.
Im komplexen Fall ist ein Ausdruck wie
gar nicht definiert, und lässt sich auch nicht komplex-differenzierbar auf ganz definieren.
Eine rationale Funktion wie ist keine ganze Funktion. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra ergibt sich, dass eine rationale Funktion nur dann ganz ist, wenn sie ein Polynom ist.
Der folgende Satz heißt Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
Es seien , , Polynome und es sei
mit verschiedenen .
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom und eindeutig bestimmte Koeffizienten , , , mit
Die Division mit Rest liefert eine eindeutige Darstellung
mit . Wir müssen daher die Aussage nur für Quotienten aus Polynomen zeigen, bei denen der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist. Wir führen Induktion über den Grad des Nennerpolynoms. Bei ist nichts zu zeigen, denn der Quotient steht bereits in der gewünschten Form. Es sei nun ein Nennerpolynom vom Grad und die Aussage sei für kleineren Grad bereits bewiesen. Es sei ein Linearfaktor von , sodass wir
schreiben können, wobei den Grad besitzt. Die Ordnung von in sei . Wir setzen
an. Dies führt auf
aus der wir und bestimmen wollen. Da die Gleichheit insbesondere für gelten soll, muss
sein, wobei diese Division erlaubt ist, da die als verschieden vorausgesetzt worden sind. Wir betrachten nun
mit dem soeben bestimmten Wert . Für diese Differenz ist dann nach Konstruktion eine Nullstelle, sodass man nach Fakt durch teilen kann, also
erhält. Dadurch ist eindeutig festgelegt. Der Grad von ist kleiner als der Grad von und daher ist der Grad von auch kleiner als der Grad von . Daher können wir auf die Induktionsvoraussetzung anwenden.