Zu
Polynomen
, ,
heißt die
Funktion
-
wobei das
Komplement
der
Nullstellen
von ist, eine rationale Funktion.
Polynomfunktionen sind insbesondere rationale Funktionen. Die einfachste rationale Funktion, die keine Polynomfunktion ist, ist die komplexe Invertierung
-
Sie ist im Nullpunkt nicht definiert und lässt sich im Nullpunkt auch nicht stetig fortsetzen. Dies beruht darauf, dass sich auch die zugehörige Betragsfunktion, also
-
nicht stetig fortsetzen lässt. Reell betrachtet handelt es sich um die Abbildung
-
und für jede Folge, die in der Ebene gegen konvergiert, divergiert die Bildfolge bestimmt gegen . Für jede endliche Punktmenge
ist die rationale Funktion
-
eine auf definierte rationale Funktion, die sich in die Punkte nicht stetig fortsetzen kann.
Dies folgt direkt aus
Fakt.
Damit gilt diese Formel für alle Potenzen einer normierten Linearform mit einem ganzzahligen Exponenten. Im reellen Fall gilt sie auch für beliebige reelle positive Argumente und beliebige reelle Exponenten, siehe
Fakt.
Im komplexen Fall ist ein Ausdruck wie
-
gar nicht definiert, und lässt sich auch nicht komplex-differenzierbar auf ganz definieren.
Eine rationale Funktion wie ist keine
ganze Funktion.
Aus dem Fundamentalsatz der Algebra ergibt sich, dass eine rationale Funktion nur dann ganz ist, wenn sie ein Polynom ist.
Der folgende Satz heißt Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
Die
Division mit Rest
liefert eine eindeutige Darstellung
-
mit
.
Wir müssen daher die Aussage nur für Quotienten aus Polynomen zeigen, bei denen der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist.
Wir führen Induktion über den Grad
des Nennerpolynoms. Bei
ist nichts zu zeigen, denn der Quotient steht bereits in der gewünschten Form. Es sei nun ein Nennerpolynom vom Grad und die Aussage sei für kleineren Grad bereits bewiesen. Es sei ein Linearfaktor von , so dass wir
-
schreiben können, wobei den Grad besitzt. Die Ordnung von in sei . Wir setzen
-
an. Dies führt auf
-
aus der wir
und
bestimmen wollen. Da die Gleichheit insbesondere für
gelten soll, muss
-
sein, wobei diese Division erlaubt ist, da die als verschieden vorausgesetzt worden sind. Wir betrachten nun
-
mit dem soeben bestimmten Wert . Für diese Differenz ist dann nach Konstruktion eine Nullstelle, so dass man nach
Fakt
durch teilen kann, also
-
erhält. Dadurch ist eindeutig festgelegt. Der Grad von ist kleiner als der Grad von und daher ist der Grad von auch kleiner als der Grad von . Daher können wir auf die Induktionsvoraussetzung anwenden.