Komplexes Quadrieren/Reell/Flächeninhalt/Beispiel

Wir betrachten das komplexe Quadrieren

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2}.$

In reellen Koordinaten ist dies die differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}-y^{2},2xy).$

Diese Abbildung ist wegen ${}\varphi (x,y)=\varphi (-x,-y)$ nicht injektiv. Allerdings ist die Einschränkung auf die positive Halbebene ${}G={\left\{(x,y)\mid x>0\right\}}$ injektiv, und das Bild davon ist ${}H=\mathbb {R} ^{2}\setminus \mathbb {R} _{-}$ (also die Ebene ohne die negative reelle Achse). Die Jacobi-Matrix von ${}\varphi$ ist

${}\operatorname {Jak} (\varphi )_{(x,y)}={\begin{pmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{pmatrix}}\,$

mit der Jacobi-Determinante

${}(J(\varphi ))(x,y)=4x^{2}+4y^{2}\,.$

Wir möchten den Flächeninhalt des Bildes ${}T=\varphi (S)$ des Einheitsquadrates ${}S=[0,1]\times [0,1]$ unter dieser Abbildung berechnen (die eine Seite des Einheitsquadrates gehört nicht zu ${}G$, dieser Rand ist aber eine Nullmenge nach Fakt und daher für den Flächeninhalt und die Integration unerheblich). Aufgrund von Fakt ist dann

${}{\begin{aligned}\lambda ^{2}(T)&=\int _{S}4x^{2}+4y^{2}d\lambda ^{2}\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left(4x^{2}+4y^{2}\right)}dxdy\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {4}{3}}x^{3}+4xy^{2}\right)}{|}_{0}^{1}dy\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {4}{3}}+4y^{2}\right)}dy\\&={\left({\frac {4}{3}}y+{\frac {4}{3}}y^{3}\right)}{|}_{0}^{1}\\&={\frac {8}{3}}.\end{aligned}}$