Konstruierbare Zahlen/Sukzessive quadratische Körpererweiterung/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}P\in {\mathbb {C} }$  eine konstruierbare komplexe Zahl. D.h. es gibt eine Folge von Punkten ${}P_{1},\ldots ,P_{n}=P$ derart, dass ${}P_{i+1}$ aus den Vorgängerpunkten ${}\{0,1,P_{1},\ldots ,P_{i}\}$ in einem Schritt konstruierbar ist. Es sei  ${}P_{i}=\left(a_{i},\,b_{i}\right)$  und es sei

${}K_{i}=\mathbb {Q} (a_{1},b_{1},\ldots ,a_{i},b_{i})\,$

der von den Koordinaten der Punkte erzeugte Unterkörper von ${}\mathbb {R}$. Nach Fakt liegt ${}K_{i+1}$ in einer reell-quadratischen Körpererweiterung von ${}K_{i}$ (und zwar ist ${}K_{i+1}=K_{i}$ oder ${}K_{i+1}$ ist eine reell-quadratische Körpererweiterung von ${}K_{i}$). Die Koordinaten von ${}P$ liegen also in ${}K_{n}$, und ${}K_{n}$ ist das Endglied in einer Folge von quadratischen Körpererweiterungen von ${}\mathbb {Q}$.
Es sei umgekehrt angenommen, dass die Koordinaten eines Punktes  ${}P=(a,b)$  in einer Kette von reell-quadratischen Körpererweiterungen von ${}\mathbb {Q}$ liegen. Wir zeigen durch Induktion über die Länge der Körperkette, dass die Zahlen in einer solchen Kette aus quadratischen Körpererweiterungen konstruierbar sind. Bei  ${}n=0$  ist  ${}K_{0}=\mathbb {Q}$,  und diese Zahlen sind konstruierbar. Es sei also schon gezeigt, dass alle Zahlen aus ${}K_{n}$ konstruierbar sind, und sei  ${}K_{n}\subset K_{n+1}$  eine reell-quadratische Körpererweiterung. Nach Fakt ist  ${}K_{n+1}=K_{n}[{\sqrt {c}}]$  mit einer positiven reellen Zahl  ${}c\in K_{n}$.  Nach Induktionsvoraussetzung ist ${}c$ konstruierbar und nach Fakt ist ${}{\sqrt {c}}$ konstruierbar. Daher ist auch jede Zahl ${}u+v{\sqrt {c}}$ mit ${}u,v\in K_{n}$, konstruierbar. Damit sind die Koordinaten von ${}P$ konstruierbar und somit ist nach Fakt auch ${}P$ selbst konstruierbar.

Zur bewiesenen Aussage