Konstruierbare Zahlen/Sukzessive quadratische Körpererweiterung/Charakterisierung/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei eine konstruierbare komplexe Zahl. D.h. es gibt eine Folge von Punkten derart, dass aus den Vorgängerpunkten in einem Schritt konstruierbar ist. Es sei und es sei

der von den Koordinaten der Punkte erzeugte Unterkörper von . Nach Fakt liegt in einer reell-quadratischen Körpererweiterung von (und zwar ist oder ist eine reell-quadratische Körpererweiterung von ). Die Koordinaten von liegen also in , und ist das Endglied in einer Folge von quadratischen Körpererweiterungen von .
Sei umgekehrt angenommen, dass die Koordinaten eines Punktes in einer Kette von reell-quadratischen Körpererweiterungen von liegen. Wir zeigen durch Induktion über die Länge der Körperkette, dass die Zahlen in einer solchen Kette aus quadratischen Körpererweiterungen konstruierbar sind. Bei ist , und diese Zahlen sind konstruierbar. Sei also schon gezeigt, dass alle Zahlen aus konstruierbar sind, und sei eine reell-quadratische Körpererweiterung. Nach Fakt ist mit einer positiven reellen Zahl . Nach Induktionsvoraussetzung ist konstruierbar und nach Fakt ist konstruierbar. Daher ist auch jede Zahl  mit , konstruierbar. Damit sind die Koordinaten von konstruierbar und somit ist nach Fakt auch selbst konstruierbar.

Zur bewiesenen Aussage