Konvergente Potenzreihe/Stammfunktion/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}x\in U{\left(0,r\right)}$. Nach Voraussetzung und nach Fakt ist dann auch die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }\vert {a_{n}x^{n}}\vert$

konvergent. Für jedes ${}n\geq \vert {x}\vert$ gelten die Abschätzungen

${}\vert {{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}}\vert \leq \vert {a_{n-1}x^{n-1}}\vert \vert {\frac {x}{n}}\vert \leq \vert {a_{n-1}x^{n-1}}\vert \,.$

Daher gilt für ein ${}k\geq \vert {x}\vert$ die Abschätzung

${}\sum _{n=k}^{\infty }\vert {{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}}\vert \leq \sum _{n=k}^{\infty }\vert {a_{n-1}x^{n-1}}\vert \,.$

Die rechte Reihe konvergiert nach Voraussetzung und ist daher eine konvergente Majorante für die linke Reihe. Daher konvergiert auch ${}\sum _{n=1}^{\infty }\vert {{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}}\vert$ und nach Fakt auch ${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}$. Die Stammfunktionseigenschaft folgt aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage