Konvergente Potenzreihen/C/Hintereinanderschaltung/Formale Einsetzung/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien  ${}F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}z^{i}$  und  ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}z^{j}$  die konvergenten Potenzreihen mit  ${}b_{0}=0$.  Die eingesetzte Potenzreihe ist

${}{\begin{aligned}F(G)&={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}\\\end{aligned}}$

mit den Koeffizienten

${}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{i}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{i}}\right)}\,.$

Die Potenzen

${}G(z)^{i}={\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}z^{j}\right)}^{i}\,$

sind konvergent nach Fakt, sie beschreiben die ${}i$-te Potenz von ${}g$ und die Koeffizientenbeschreibung ist

${}G(z)^{i}=\sum _{\ell =0}^{\infty }d_{\ell ,i}z^{\ell }\,$

mit

${}d_{\ell ,i}=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{i}),\,\sum _{r=1}^{i}j_{r}=\ell }b_{j_{1}}\cdots b_{j_{i}}\,.$

Wegen  ${}b_{0}=0$  tragen nur die Tupel ${}(j_{1},\ldots ,j_{i})$ bei, in denen jeder Index ${}\geq 1$ ist. Daher ist

${}d_{\ell ,i}=0\,$

für  ${}\ell <i$.  Es gilt

${}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}d_{k,i}\,.$

Es sei nun ${}R$ der Konvergenzradius von ${}F$ und ${}S$ der Konvergenzradius von ${}G$. Es sei  ${}t\in \mathbb {R} _{+}$  derart, dass

${}\Vert {G}\Vert _{t}<R\,$

ist. Solche ${}t$ gibt es wegen der Stetigkeit von ${}g$, siehe Aufgabe. Für  ${}\vert {z}\vert \leq t$  ist

${}\vert {g(z)}\vert \leq \sum _{j=0}^{\infty }\vert {b_{j}}\vert \vert {z}\vert ^{j}\leq \sum _{j=0}^{\infty }\vert {b_{j}}\vert t^{j}=\Vert {G}\Vert _{t}<R\,$

und daher landen diese ${}z$ unter ${}g$ im Konvergenzbereich von ${}F$. Für  ${}\vert {z}\vert \leq t$  ist also

${}f(g(z))=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}z^{j}\right)}^{i}=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}{\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }d_{\ell ,i}z^{\ell }\right)}\,.$

Dabei gilt unter Verwendung von Fakt  (5)

${}{\begin{aligned}\sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert {\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\vert {d_{\ell ,i}}\vert \vert {z}\vert ^{\ell }\right)}&\leq \sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert {\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\vert {d_{\ell ,i}}\vert t^{\ell }\right)}\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert \cdot \Vert {G^{i}}\Vert _{t}\\&\leq \sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert \cdot \Vert {G}\Vert _{t}^{i}\\&=\Vert {F}\Vert _{\Vert {G}\Vert _{t}}\end{aligned}}$

was nach der Bedingung an ${}t$ endlich ist. Es liegt also eine bestimmte Aufspaltung der Familie ${}\vert {a_{i}}\vert \vert {d_{\ell ,i}z^{\ell }}\vert$, ${}(i,\ell )\in \mathbb {N} ^{2}$, vor, die konvergiert. Daher ist diese Familie und auch die Familie ${}a_{i}d_{\ell ,i}z^{\ell }$, ${}(i,\ell )\in \mathbb {N} ^{2}$, summierbar. Nach dem großen Umordnungssatz gilt daher

${}{\begin{aligned}f(g(z))&=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}{\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }d_{\ell ,i}z^{\ell }\right)}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}d_{k,i}\right)}z^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}d_{k,i}\right)}z^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}\\&=(F\circ G)(z).\end{aligned}}$

Die Hintereinanderschaltung der Funktionen konvergiert also und stimmt mit der formalen Einsetzung überein

Zur bewiesenen Aussage