Konvexe Geometrie/Gitterpunktsatz (Minkowski)/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir betrachten das verdoppelte Gitter . Ist eine Basis für , so ist eine Basis für . Wir bezeichnen die Grundmasche von mit , für ihr Volumen gilt . Zu jeder Masche , , betrachten wir den Durchschnitt

Da kompakt und insbesondere beschränkt ist, gibt es nur endlich viele Maschen derart, dass dieser Durchschnitt nicht leer ist. Seien diese Maschen (bzw. ihre Ausgangspunkte bzw. ihre Durchschnitte) mit , , bezeichnet (da der Nullpunkt aufgrund der Konvexität und der Zentralsymmetrie zu gehört, umfasst zumindest Elemente). Die in die Grundmasche verschobenen Durchschnitte bezeichnen wir mit

Wir behaupten zunächst, dass die nicht paarweise disjunkt sind. Sei also angenommen, sie wären paarweise disjunkt. Mindestens eines der (und damit der ) hat positives Volumen, sagen wir für . Wegen der angenommenen Disjunktheit sind insbesondere

disjunkt zueinander. Wir haben also zwei disjunkte kompakte Teilmengen, und diese besitzen einen Minimalabstand (d.h. zu jedem Punkt aus liegen in einer -Umgebung keine Punkte aus , siehe Aufgabe). Sei ein innerer Punkt (den es gibt, da konvex ist und ein positives Volumen besitzt) und sei . Mit sei die Verbindungsstrecke von nach bezeichnet, die ganz in verläuft. Wir wählen einen Punkt , der weder zu noch zu gehört (solche Punkte gibt es wegen des Minimalabstandes). Da sowohl zu als auch zu einen Minimalabstand besitzt, gibt es eine -Umgebung von , die disjunkt zu und ist. Wir können ferner annehmen, dass ganz innerhalb von liegt (wegen der Wahl von ). Als eine Ballumgebung hat ein positives Volumen, was zu folgendem Widerspruch führt.

Es gibt also Indizes und einen Punkt ( muss selbst nicht zu gehören). Sei

Wegen ist auch und daher

Aus folgt (wegen der Zentralsymmetrie) auch und wegen der Konvexität von ergibt sich

Wir haben also einen von Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt in gefunden.