Wir betrachten das verdoppelte Gitter
. Ist
eine Basis für
, so ist
eine Basis für
. Wir bezeichnen die Grundmasche von
mit
, für ihr Volumen gilt
.
Zu jeder Masche
,
,
betrachten wir den Durchschnitt
-
![{\displaystyle {}T_{Q}=T\cap {\mathfrak {N}}_{Q}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0444059e1292f958ffd43a046211f6fe95a43b77)
Da
kompakt
und insbesondere
beschränkt
ist, gibt es nur endlich viele Maschen derart, dass dieser Durchschnitt nicht leer ist. Es seien diese Maschen
(bzw. ihre Ausgangspunkte bzw. ihre Durchschnitte)
mit
,
,
bezeichnet
(da der Nullpunkt aufgrund der
Konvexität
und der
Zentralsymmetrie
zu
gehört, umfasst
zumindest
Elemente).
Die in die Grundmasche
verschobenen Durchschnitte bezeichnen wir mit
-
![{\displaystyle {}{\tilde {T}}_{i}:=T_{i}-Q_{i}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/635693dadfda57fa88311eab467be8d313e5687c)
Wir behaupten zunächst, dass die
nicht paarweise disjunkt sind. Es sei also angenommen, sie wären paarweise disjunkt. Mindestens eines der
(und damit der
)
hat positives Volumen, sagen wir für
.
Wegen der angenommenen Disjunktheit sind insbesondere
-
disjunkt zueinander. Wir haben also zwei disjunkte kompakte Teilmengen, und diese besitzen einen Minimalabstand
(d.h. zu jedem Punkt aus
liegen in einer
-Umgebung keine Punkte aus
, siehe
Aufgabe).
Sei
ein
innerer Punkt
(den es gibt, da
konvex ist und ein positives Volumen besitzt)
und sei
.
Mit
sei die Verbindungsstrecke von
nach
bezeichnet, die ganz in
verläuft. Wir wählen einen Punkt
,
der weder zu
noch zu
gehört
(solche Punkte gibt es wegen des Minimalabstandes).
Da
sowohl zu
als auch zu
einen Minimalabstand besitzt, gibt es eine
-Umgebung
von
, die disjunkt zu
und
ist. Wir können ferner annehmen, dass
ganz innerhalb von
liegt
(wegen der Wahl von
).
Als eine Ballumgebung hat
ein positives Volumen, was zu folgendem Widerspruch führt.
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}})&\geq \operatorname {Vol} (X\cup Y\cup B)\\&=\operatorname {Vol} {\left(\bigcup _{i\in I}{\tilde {T}}_{i}\right)}+\operatorname {Vol} (B)\\&>\sum _{i\in I}\operatorname {Vol} ({\tilde {T}}_{i})\\&=\sum _{i\in I}\operatorname {Vol} (T_{i})\\&=\operatorname {Vol} (T)\\&\geq 2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})\\&=\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48bd725e2d49d0ed32b6f950c21bf7a1ef03b2d)
Es gibt also Indizes
und einen Punkt
(
muss selbst nicht zu
gehören).
Sei
-
Wegen
ist auch
und daher
-
![{\displaystyle {}0\neq {\frac {Q_{i}-Q_{j}}{2}}\in \Gamma \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59b9765906e2cb86cd02c301f8664e085796fb7)
Aus
folgt
(wegen der Zentralsymmetrie)
auch
und wegen der Konvexität von
ergibt sich
-
![{\displaystyle {}{\frac {Q_{i}-Q_{j}}{2}}={\frac {1}{2}}(z_{i}-z)-{\frac {1}{2}}(z_{j}-z)={\frac {1}{2}}z_{i}-{\frac {1}{2}}z_{j}\in T\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bdc703bc664cab5020dfc7d3c200b319ba87739)
Wir haben also einen von Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt in
gefunden.