Kreis/Trigonometrische Parametrisierung/Zusammenhang in R^2/Horizontale Liftung/Aufgabe

Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung

$\psi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right)$

des Einheitskreises. Es sei ${}c\in [0,2\pi [$ fixiert. Auf dem trivialen Vektorbündel

$S^{1}\times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow S^{1}$

sei ein linearer Zusammenhang ${}\nabla$ gegeben derart, dass der längs ${}\psi$ zurückgezogene Zusammenhang ${}\psi ^{*}\nabla$ durch die Christoffelsymbole (der Index für die einzige Ableitungsrichtung wird weggelassen)

${}{\begin{pmatrix}{\tilde {\Gamma }}_{1}^{1}(t)&{\tilde {\Gamma }}_{1}^{2}(t)\\{\tilde {\Gamma }}_{2}^{1}(t)&{\tilde {\Gamma }}_{2}^{2}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-{\frac {c}{2\pi }}\\{\frac {c}{2\pi }}&0\end{pmatrix}}\,$

gegeben ist. Wir betrachten zu einem Punkt ${}Q={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$ die Abbildung

$\Psi _{Q}\colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}\times \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,M(t){\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\right)$

mit

${}M(t)={\begin{pmatrix}\cos {\frac {ct}{2\pi }}&-\sin {\frac {ct}{2\pi }}\\\sin {\frac {ct}{2\pi }}&\cos {\frac {ct}{2\pi }}\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme ${}\Psi _{Q}(0)$.
2. Bestimme ${}\Psi _{Q}(2\pi )$.
3. Zeige, dass ${}\Psi _{Q}$ eine horizontale Liftung längs ${}\psi$ ist.
4. Zeige, dass

   $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,Q\longmapsto \Psi _{Q}(2\pi ),$

   eine lineare Isometrie ist (der Basispunkt ${}(1,0)$ wird hier nicht aufgeführt).

5. Zeige, dass

   $\mathbb {Z} \longrightarrow \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)},\,k\longmapsto {\left(Q\mapsto \Psi _{Q}(2k\pi )\right)},$

   ein Gruppenhomomorphismus ist.

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