Kreisscheibe/Holomorphe Automorphismen/Fakt/Beweis

Beweis

Die angegebenen gebrochen-linearen Funktionen bilden die Kreisscheibe in sich ab, siehe Aufgabe, ferner bilden sie eine Gruppe, siehe Aufgabe. Es sei ${}\varphi$ ein Automorphismus mit

${}\varphi (0)=w\,.$

Nach Aufgabe gibt es einen gebrochen-linearen Automorphismus ${}\psi$ der angegeben Form mit ${}\psi (0)=w$. Daher ist ${}\varphi \circ \psi ^{-1}$ ein Automorphismus der Kreisscheibe, der ${}0$ auf ${}0$ abbildet, also nach Fakt eine Multiplikation mit einer komplexen Zahl ${}u$ vom Betrag ${}1$. Es sei ${}v$ eine komplexe Quadratwurzel von ${}u$. Dann ist die gebrochen-lineare Abbildung ${}z\mapsto {\frac {vz}{\overline {v}}}$, nennen wir sie ${}\vartheta$, wegen

${}{\overline {v}}=v^{-1}\,$

gleich der Multiplikation mit ${}u$ und erfüllt die Betragsbedingung. Deshalb ist

${}\varphi =\vartheta \circ \psi \,.$

Zur bewiesenen Aussage