Kreisteilungskörper/Q/Prim/Kreisteilungspolynom/Fakt/Beweis

Beweis

Der ${}p$-te Kreisteilungskörper wird nach Fakt von ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ erzeugt, er ist also isomorph zu ${}\mathbb {Q} [X]/(P)$, wobei ${}P$ das Minimalpolynom von ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ bezeichnet. Als Einheitswurzel ist ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ eine Nullstelle von ${}X^{p}-1$ und wegen ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}\neq 1$ ist ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ eine Nullstelle von ${}X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{1}+1$. Das Polynom ${}X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{1}+1$ ist irreduzibel nach Aufgabe und daher handelt es sich nach Fakt  (2) um das Minimalpolynom von ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$.

Zur bewiesenen Aussage