Kreisteilungspolynom/Irreduzibel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

 Nehmen wir an, dass ${}\Phi _{n}$ nicht irreduzibel über ${}\mathbb {Q}$ ist. Dann gibt es nach Fakt eine Zerlegung ${}\Phi _{n}=FG$ mit normierten Polynomen ${}F,G\in \mathbb {Z} [X]$ von kleinerem Grad. Wir fixieren eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel ${}\zeta$. Dann ist nach Definition der Kreisteilungspolynome ${}\Phi _{n}(\zeta )=0$ und daher ist (ohne Einschränkung) ${}F(\zeta )=0$. Wir können annehmen, dass ${}F$ irreduzibel und normiert ist, also das Minimalpolynom von ${}\zeta$ ist.  Wir werden zeigen, dass jede primitive ${}n$-te Einheitswurzel ebenfalls eine Nullstelle von ${}F$ ist. Dann folgt aus Gradgründen ${}\operatorname {grad} \,(F)={\varphi (n)}=\operatorname {grad} \,(\Phi _{n})$ im Widerspruch zur Reduzibilität. Jede primitive Einheitswurzel kann man als ${}\zeta ^{k}$ mit einer zu ${}n$ teilerfremden Zahl ${}k$ schreiben. Es genügt dabei, den Fall ${}\zeta ^{p}$ mit einer zu ${}n$ teilerfremden Primzahl ${}p$ zu betrachten, da sich jedes ${}\zeta ^{k}$ sukzessive als ${}p$-Potenz von ${}\zeta$ erhalten lässt (wobei man ${}\zeta$ sukzessive durch ${}\zeta ^{p}$ ersetzt und ${}F{\left(\zeta ^{p}\right)}=0$ verwendet).  Nehmen wir also an, dass ${}F{\left(\zeta ^{p}\right)}\neq 0$ ist. Dann muss ${}G{\left(\zeta ^{p}\right)}=0$ sein. Daher ist ${}\zeta$ eine Nullstelle des Polynoms ${}G(X^{p})$ und daher gilt ${}FH=G{\left(X^{p}\right)}$ mit ${}H\in \mathbb {Q} [X]$, da ja ${}F$ das Minimalpolynom von ${}\zeta$ ist. Wegen Aufgabe gehören die Koeffizienten von ${}H$ zu ${}\mathbb {Z}$. Wir betrachten nun die Polynome ${}\Phi _{n},F,G,H$ modulo ${}p$, also als Polynome in ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$, wobei wir dafür ${}{\overline {\Phi _{n}}},{\overline {F}}$ usw. schreiben. Aufgrund des Frobeniushomomorphismus in Charakteristik ${}p$ und wegen des kleinen Fermat'schen Satzes gilt

${}{\overline {G}}(X^{p})={\left({\overline {G}}(X)\right)}^{p}\,.$

Daher ist

${}{\overline {F}}{\overline {H}}={\overline {G}}(X^{p})=({\overline {G}}(X))^{p}\,.$

Es sei nun ${}\mathbb {Z} /(p)\subseteq L$ der Zerfällungskörper von ${}X^{n}-1$ über ${}\mathbb {Z} /(p)$, sodass über ${}L$ insbesondere auch ${}{\overline {\Phi _{n}}}$ und damit auch ${}{\overline {F}}$ in Linearfaktoren zerfällt. Es sei ${}u\in L$ eine Nullstelle von ${}{\overline {F}}$. Dann ist ${}u$ wegen der obigen Teilbarkeitsbeziehung auch eine Nullstelle von ${}{\overline {G}}$. Wegen ${}{\overline {\Phi _{n}}}={\overline {F}}{\overline {G}}$ ist dann ${}u$ eine mehrfache Nullstelle von ${}{\overline {\Phi _{n}}}$. Damit besitzt auch ${}X^{n}-1$ eine mehrfache Nullstelle in ${}L$. Nach dem formalen Ableitungskriterium ist aber ${}(X^{n}-1)'=(n\mod p)X^{n-1}$ und dieser Koeffizient ist wegen der vorausgesetzten Teilerfremdheit nicht ${}0$. Also erzeugt das Polynom ${}X^{n}-1$ und seine Ableitung das Einheitsideal, sodass es nach Aufgabe

keine mehrfache Nullstellen geben kann und wir einen Widerspruch erhalten.

Zur gelösten Aufgabe