Kreisteilungsring/5/Operation auf Kähler-Differentialen/Aufgabe/Lösung

Es ist ${}R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}$, die Galoisgruppe ist

${}\operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )={\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }\,,$

eine Einheit ${}a\in {\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }$ wirkt durch die Substitution ${}x\mapsto x^{a}$, siehe Fakt (wir schreiben ${}x$ für die Restklasse von ${}X$).

${}a=2$. Es wird ${}dx$ auf

${}dx^{2}=2xdx\,$

abgebildet, ${}xdx$ wird unter Verwendung von Aufgabe auf

${}x^{2}dx^{2}=2x^{3}dx=2{\left(1+2x+3x^{2}\right)}dx={\left(2+4x+x^{2}\right)}dx\,$

abgebildet. Es wird ${}x^{2}sx$ auf

${}x^{4}dx^{2}=2x^{5}dx=2dx\,$

abgebildet. Die zugehörige Matrix ist also

${\begin{pmatrix}0&2&2\\2&4&0\\0&1&0\end{pmatrix}}.$

Da die Gesamtzuordnung

$\operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} \,\Omega _{R_{5}{|}\mathbb {Z} }$

ein Gruppenhomomorphismus ist, und ${}x\mapsto x^{2}$ die Galoisgruppe erzeugt, gehört zu ${}x\mapsto x^{4}$ die Matrix

${}{\begin{pmatrix}0&2&2\\2&4&0\\0&1&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}4&0&0\\3&0&4\\2&4&0\end{pmatrix}}\,$

und zu ${}x\mapsto x^{3}$ die Matrix

${}{\begin{pmatrix}0&2&2\\2&4&0\\0&1&0\end{pmatrix}}^{3}={\begin{pmatrix}4&0&0\\3&0&4\\2&4&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&2&2\\2&4&0\\0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&3&3\\0&0&1\\3&0&4\end{pmatrix}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe