Separables Polynom/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}P$ ist separabel.
2. Es gibt eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ derart, dass ${}P$ über ${}L$ in einfache Linearfaktoren zerfällt.
3. ${}P$ und die Ableitung ${}P'$ sind teilerfremd.
4. ${}P$ und die Ableitung ${}P'$ erzeugen das Einheitsideal.

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