Separables Polynom/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei  $P\in K[X]$  ein Polynom. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. $P$ ist separabel.
2. Es gibt eine Körpererweiterung  $K\subseteq L$  derart, dass $P$ über $L$ in einfache Linearfaktoren zerfällt.
3. $P$ und die Ableitung $P^{\prime }$ sind teilerfremd.
4. $P$ und die Ableitung $P^{\prime }$ erzeugen das Einheitsideal.

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